Stellen Sie sich vor, wir haben ein System, das aus 2 beliebigen Massen und 3 beliebigen Federn besteht, die sie horizontal und zwischen festen Wänden verbinden, und wir möchten die Bewegung jeder Masse erhalten, nachdem wir einige Anfangsbedingungen (aber keine Antriebskraft) eingegeben haben.
Nach dem Lösen der beiden gekoppelten Differentialgleichungen, die sich aus der Situation ergeben, erhalten wir, dass, egal welche Anfangsbedingungen wir haben, die chaotische Bewegung jeder Masse einfach durch eine lineare Kombination der beiden Normalmoden mit zwei unterschiedlichen Frequenzen ( der Normalschwingung) beschrieben wird Moden sind zufällig sinusförmig, weil die Rückstellkraft linear ist, was die ODEs linear macht, nehme ich an).
Aber obwohl ich alle mathematischen Schritte verstehen und befolgen kann, um eine solche Schlussfolgerung abzuleiten, fehlt mir immer noch ein tiefes Verständnis und eine Intuition dafür, warum das Ergebnis gilt.
Also, ich habe zwei Fragen:
1 - Kann jemand intuitiv erkennen, warum wir solch eine chaotische Bewegung in eine einfache lineare Kombination zerlegen können?
Hat dies etwas mit der orthogonalen Basis von Funktionsräumen (Vektorraum der Funktionen) zu tun? Ich suche nach einer klaren und einfachen mathematischen oder physikalischen Einsicht, die es uns ermöglicht, das zu verstehen.
2 - In Anbetracht der vorherigen Frage ist es sinnvoll, dass die Tatsache, dass die orthogonale Basis die Kosinus / Sinus-Basis ist, darauf zurückzuführen ist, dass die Wiederherstellungskräfte linear sind (und daher nur die Kosinus / Sinus-Basis erfüllt)?
Vielen Dank im Voraus.
Weil (wie Sie sagen) die ODE linear ist, haben wir das wenn sind alle gültige Lösungen, dann ist es so
Wir verwenden die Sinus- und Kosinusfunktionen für unsere Zerlegung, weil sie zufällig eine orthonormale Basis für die Lösung der fraglichen ODE bilden. Wenn wir eine andere (noch lineare) ODE lösen würden, benötigen wir möglicherweise einen anderen Satz von Funktionen. Insbesondere wissen wir, dass die Sinus- und Kosinusfunktionen eine orthonormale Basis für periodische Funktionen (durch die Fourier-Reihe) bilden, sodass jede (lineare) ODE, für die es periodische Lösungen gibt, die eine ON-Basis bilden, ihre Lösungen als sinusförmige Normalmoden ausgedrückt haben kann.
Sie haben also Ihre zwei normalen Modi, einer ist eine Summe, der andere ist eine Differenz, und beide ändern sich mit der Zeit. Wenn die Summe Null ist, haben Sie eine Differenz, und wenn die Differenz Null ist, haben Sie eine Summe ... jede Art von Bewegung kann dargestellt werden, indem Sie eine gewisse Menge an Summe und eine gewisse Menge an Differenz mischen ... an jeder Position haben Sie eine Summe von zwei Amplituden und einer Differenz und sie werden sich im nächsten Moment ändern und sie definieren sicherlich die Position von zwei Massen in einem bestimmten Moment. So stelle ich es mir vor.
nerdig