Spannung in einer vibrierenden Schleife

Stellen Sie sich eine super einfache 1D-Vibrationssaite mit stehenden Wellen darauf vor. Die Zeichenfolge hat eine Länge L , und die Welle breitet sich mit einer Geschwindigkeit aus v . Die Grundfrequenz F 1 wird von gegeben

F 1 = v 2 L

Und v ist wiederum gegeben durch

v = T μ

Wo T ist die Spannung in der Saite und μ ist die lineare Massendichte. Es wird auch stehende Wellen bei ganzzahligen Vielfachen von geben F 1 .

Stellen Sie sich nun eine vibrierende Schleife aus Metall vor (so dass sie versucht, ihre Form beizubehalten), wie in diesem Video . Wie berechne ich die Grundfrequenz eines solchen Systems? Insbesondere verstehe ich, was Spannung im Kontext des linearen Systems bedeutet, aber ich weiß nicht, wie es im Loop-Fall funktioniert.

Ich kann nicht sehen, wo die Spannung im Draht ist. Es ist nicht wie eine gespannte Gitarrensaite; Niemand zieht den Ring fest, er behält seine Form von selbst. Zuerst dachte ich, die Spannung würde von der Saite herrühren, die ursprünglich gerade war und sich dann zu einem Ring zusammenrollte, aber das kann nicht richtig sein, weil die Spannung am äußeren Rand durch die Kompression am inneren Rand ausgeglichen würde . Außerdem könnte man sich vorstellen, dass ein Ring hergestellt wird, indem man geschmolzenes Metall in eine sehr dünne ringförmige Form gießt – in diesem Fall gäbe es überhaupt keine Dehnung oder Kompression – die Ringform wäre der natürliche Zustand des Atomgitters . Ein solcher Ring würde vermutlich genauso schwingen wie der Ring im Video.

Dann dachte ich, dass die Spannung von der Dehnung des Drahtes kommt, wenn er schwingt – eine Sinuswelle ist länger als eine gerade Linie. In diesem Fall würde die Spannung durch eine Schwingung (?) auf den Effektivwert der Bogenlänge des Drahtes bezogen. Abgesehen davon, dass die Lösung ein schreckliches elliptisches Integral erfordert, funktioniert es auch nicht, denn wenn Sie die Amplitude der Auslenkung erhöhen, erhöhen Sie die Spannung im Draht, und das würde die Grundfrequenz ändern. Aber das ist nicht das, was tatsächlich passiert – Sie können den Oszillator so weit aufdrehen, wie Sie möchten, und es ändert nicht die Position der Knoten, es macht sie nur leichter zu sehen (ich habe das getan).

Vielleicht sind wir also außerhalb des Bereichs, für den die Gleichung gültig ist? Meine Frage ist: Gibt es eine andere, spannungsähnliche Größe, die ich in der Gleichung verwenden kann? Vermutlich würde es eine Art Masseneigenschaft des Materials wie den Elastizitätsmodul beinhalten, aber ich konnte nicht herausfinden, wie ich die Einheiten zum Laufen bringen sollte. Oder eine ganz andere Gleichung?

Antworten (3)

Die Rolle der Spannung in der linearen Saite besteht darin, eine Kraft zu erzeugen, die bei jeder Abweichung von einer geraden Linie zurückzieht. Dies bewirkt, dass sich Wellen entlang der Saite ausbreiten. Ein Punkt wird aus dem Gleichgewicht bewegt, und die Spannung wirkt, um ihn wieder in seine Gleichgewichtsposition zu bringen. Die Dinge hören nicht auf, da die Saite jetzt kinetische Energie hat und sich gegen die Spannung weiterbewegt.

In einem Schüttgut gibt es bereits eine Kraft, die versucht, jede Abweichung vom Gleichgewicht zu reduzieren. Sie brauchen die Spannung nicht, und die Gleichung für eine Saite ist nicht gültig. Wie Sie vermutet haben, hängt diese Kraft mit den elastischen Eigenschaften des Materials zusammen. Eine Sache, die nicht verwechselt werden sollte, ist, dass es in Festkörpern Longitudinalwellen und Transversalwellen geben kann, die sich mit unterschiedlichen Geschwindigkeiten ausbreiten. Es gibt unterschiedliche Eigenschaften der Materialien (E-Modul, Schubmodul, Kompressionsmodul und Poisson-Zahl), die für jeden spezifischen Fall verwendet werden müssen. Die Ausbreitungsgeschwindigkeit hängt auch von der Dichte des Materials ab.

Beachten Sie, dass bei dünnen Strahlen (wie der erwähnten Bandschleife) jede Spannung die Wellenlänge verringert und jede Kompression die Wellenlänge erhöht. Wenn die Kompression groß genug ist, knickt das Teil ein. Die Quelle des Knickens in Balken ist, dass die Grundfrequenz gegen Null geht (Wellenlänge wird unendlich).

Zur Demonstration dient die fundamentale Wellengleichung in einem dünnen Strahl

E ICH ∂ 4 u ∂ X 4 − T ∂ 2 u ∂ X 2 + ρ A ∂ 2 u ∂ T 2 = 0

Wo: u ( X , T ) ist die Abweichung von der Ruheform, T ist die Spannung, ρ ist die Massendichte, E ist der Elastizitätsmodul, A ist die Querschnittsfläche, und ICH Flächenmoment des Schnitts.

Dies wird durch die Wellenfrequenz für einen Strahl der Länge gelöst ℓ mit einem Ende fixiert durch:

ω = E ICH A ρ ℓ 4 Φ ich 4 − T A ρ ℓ 2 Φ ich 2

Wo Φ ich ≈ π 2 + ( ich − 1 ) π ein harmonischer Parameter ist, für den gilt ich ≫ 1 . Sie haben auch Φ 1 = 1.87510406871196 Und Φ 2 = 4.69409113297417 .

Das sieht man an der Spannung T bewirkt, dass die Eigenfrequenz nichtlinear ansteigt. Die umgekehrte Aussage ist, dass wenn die Druckkraft

T = − E ICH ℓ 2 Φ 1 2
angewendet wird, da der Balken knickt ω → 0 .

Scheint ein Vorzeichenfehler in Ihrer Differentialgleichung zu sein - der Spannungsterm sollte negativ sein, oder?
Es kommt auf die Konvention an. Ich denke, Sie sind es gewohnt, beim Umgang mit Balken ein Negativ zu sehen, da Kräfte (wie in Säulen) für die interessanten Probleme des Knickens und der Resonanz komprimierend sind.
Ich dachte eigentlich an Saiten - wenn Sie den Steifheitsterm auf Null setzen, sollten Sie die Bewegungsgleichung für eine Saite zurückbekommen, die das entgegengesetzte Vorzeichen hat (wie es sein muss, um Lösungen der Form zu ermöglichen u ( X , T ) = A e ich ( k X − ω T ) .
Du hast Recht. Lassen Sie mich darüber nachdenken. Mit der Lösung von u = U exp ⁡ ( ω ( X C − T ) ) Ich glaube, ich habe die Zeichen umgedreht, weil die Lösung ist
T = E ICH ω 2 C 2 − A ρ C 2
und für null Steifheit bekomme ich eine negative Spannung.

Wenn sich die Spannung am äußeren Rand und die Kompression am inneren Rand ausgleichen würden, wäre die Schlaufe völlig weich und Sie könnten sie mühelos in jede Form biegen. Dies ist nicht der Fall, stattdessen wirkt parallel zur Oberfläche eine Spannkraft, die den Ring in seine Ruheform zieht (natürlich zusammen mit der Schwerkraft, sonst müsste er einen perfekten Kreis bilden). Sie könnten den Ring öffnen und diese innere Spannung durch eine äußere Spannungskraft ersetzen. Die Moden dieses offenen Bandes, die periodische Randbedingungen haben, sollten den Moden des Rings ähnlich sein. Dies ist natürlich nur eine gute (?) Annäherung für kleine Amplituden.

Aber würde das nicht nur funktionieren, wenn die Schleife konstruiert würde, indem man einen geraden Draht nimmt und ihn biegt? Angenommen, Sie nehmen ein Blech und schneiden stattdessen die Schlaufe aus, damit sie nicht unter Spannung steht. Oder flüssiges Metall in eine ringförmige Form gießen und erstarren lassen. Würde es nicht immer noch seine Form behalten?
@dain: Wenn Sie ein flaches Metallband nehmen und es biegen, entwickelt es aufgrund der Ausdehnung am äußeren Rand und der Kompression am inneren Rand Spannung. Sie können dies überprüfen, indem Sie ihn loslassen, dann kehrt er in die flache Position zurück (es sei denn, das Material wurde irreversibel verändert). Sie können auch ein Kraftmessgerät an die beiden Enden anschließen und die Spannkraft messen. Das gleiche Material, das in die Form gegossen wird, hätte diese Spannungskraft nicht.
Richtig, und vermutlich könnte man ein solches Objekt immer noch an einen Oszillator anschließen und im Grunde das gleiche Verhalten erhalten, also wie wird die Grundfrequenz in einem solchen Szenario berechnet?
@dain: Wie ich in meiner Antwort sagte, als erstes oder mentales Modell können Sie es aufrollen, von außen die gleiche Spannung darauf legen und nur die Modi berücksichtigen, die den periodischen Bedingungen gehorchen. Wenn Sie eine vereinfachte Form berechnen möchten, betrachten Sie eine kreisförmige Schleife und lösen Sie die Wellengleichung mit periodischen Randbedingungen in Polarkoordinaten. Wenn Sie es ganz allgemein lösen möchten, verwenden Sie die Gleichungen der Kontinuumsmechanik, um die vollständigen Bewegungsgleichungen zu formulieren, aber das zwingt Sie auf dem Weg zu einer Reihe von Annäherungen, um die hochfrequenten Längsmoden zu vermeiden.
Steifheit verursacht Streuung, daher sehen Moden ähnlich aus, aber sie liegen nicht genau bei Vielfachen der Grundmode.
Spannung in einer vibrierenden Schleife
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