Unabhängigkeit von Periode und Amplitude in einfachen harmonischen Bewegungen

In Simple Harmonic Motion die Periode T einer Schwingung, soll unabhängig von der Amplitude sein A einer Schwingung, aber warum ist das so?

Der Versuch, aus den Gleichungen der einfachen harmonischen Bewegung abzuleiten, scheint mich nirgendwohin zu bringen:

X ( T ) = A cos ⁡ ( ω T )
⟹ X ( T ) = A cos ⁡ ( 2 π T T )

Aber es ist mir unklar, wie zeigen die Unabhängigkeit von T aus A aus der obigen Gleichung, oder auch wenn es hier durch eine Ableitung gezeigt werden kann.

Du kannst ändern A , Ohne zu beeinträchtigen T , und Sie können ändern T Ohne zu beeinträchtigen A .
In der vollständigen Herleitung des SHO, A = X 0 , die anfängliche Verschiebung bei T = 0 . Es ist völlig unabhängig von ω .

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Eine einfache harmonische Bewegung ist eine, bei der die Beschleunigung (oder Rückstellkraft) direkt proportional zur Verschiebung und in der entgegengesetzten Richtung der Verschiebung ist. Für eine Masse M an einer Feder mit Federkonstante k , wird die die Bewegung beschreibende Differentialgleichung zu:

M D 2 X D T 2 = − k X

Diese Gleichung hat als Lösung:

X ( T ) = A cos ⁡ ( ω T + φ )

mit ω = k M

A Und φ werden nur durch die Anfangsbedingungen bestimmt: zum Beispiel, wenn die Masse m aus ihrer Position gelöst wird X 0 bei t = 0, dann A = X 0 Und φ = 0 . Die Frequenz wird durch das Verhältnis bestimmt k / M und ist unabhängig von den Anfangsbedingungen.

Ich glaube nicht, dass man es ausgehend von der Gleichung zeigen kann, aber es wird klar, wenn man die Differentialgleichung löst, dass die beiden Größen unabhängig sind: ω ein willkürlicher Parameter der Bewegungsgleichung ist und A eine willkürliche Konstante ist, die in der Lösung erscheint.

Unabhängigkeit von Periode und Amplitude in einfachen harmonischen Bewegungen
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