Einfache harmonische Bewegung: Warum ist die Periode unabhängig von der Amplitude, selbst wenn die Winkelgeschwindigkeit mit der Amplitude in Beziehung steht?

Die Periode ist unabhängig von der Amplitude. ( vias.org )

Aber angesichts dessen,

Einfache harmonische Bewegung kann definiert werden durch

(1) X = A ∗ Sünde ⁡ ( ω T )
Wo A ist die Amplitude der Schwingung, ω die Winkelgeschwindigkeit, T die Zeit und X die Verschiebung von der mittleren Position

Und,

(2) T = 2 π / ω = 1 / F
Wo, T ist die Bewegungszeit und F ist die Schwingungsfrequenz.

Gleichung (1) kann umgestellt werden zu geben

X = A ∗ Sünde ⁡ ( ω T ) X A = Sünde ⁡ ( ω ω T ) arcsin ⁡ ( X A ) = ω T ω = arcsin ⁡ ( X A ) T

Wenn man dies in (2) einfügt, ergibt sich die folgende Beziehung zwischen T Und A

T = 2 π T arcsin ⁡ ( X / A ) = 1 F

Nicht die Tatsache, dass beides T Und A in der obigen Gleichung erscheinen, zeigen, dass T (Zeitraum) ist abhängig von A (Amplitude) ?

FYI:

Obwohl eine physikalische Erklärung nützlich sein kann, interessiert mich besonders, warum eine Beziehung zwischen abgeleitet wird T Und A bedeutet nicht, dass sie abhängig sind . Beachten Sie, dass es hier eine ähnliche Frage gibt, die sich jedoch mit der Physik der Phänomene befasst und nicht , warum die Mathematik nicht zur Lösung verwendet werden kann.

Dies liegt daran, dass ich diese Prüfung habe, bei der wir einen Stimulus erhalten und allein auf der Grundlage dieses Stimulus Fragen beantworten sollen (dh die Prüfung soll Material/Prinzipien enthalten, denen wir zuvor nicht ausgesetzt waren, die wir aber können sollten Antwort auf den Stimulus). Und da ich nicht viel über einfache harmonische Bewegungen wusste, war meine erste Reaktion zu sehen, ob die Formeln miteinander verknüpft sind T Und A .

Die Übungsfrage (von der ich die wichtigen Teile oben getippt habe) lautet: Die Antwort ist D.Q Q

Nur zu Ihrer Information, diese unten verlinkte Seite kann Bilder in Text umwandeln, z. B. aus Ihrem Bild oben: Einfache harmonische Bewegung kann durch die Gleichung = — kx definiert werden, wobei F die wirkende Kraft und x die Verschiebung von der mittleren Position ist. Alternativ kann eine einfache harmonische Bewegung definiert werden durch x – A.sin wt, wobei A die Amplitude ist und wobei die Periode der Bewegung T – 27r/co = 1 ist, wobei f die Frequenz der einfachen harmonischen Bewegung ist. onlineocr.net
Ich bin mir nicht sicher, ob Sie es so fragen, aber wenn Sie eine Gitarrensaite hart anschlagen, ist die Amplitude hoch, anstatt sie weich anzuschlagen und eine niedrige Amplitude zu erhalten. Wie auch immer Sie es anschlagen, die Frequenz bleibt gleich und hängt nicht vom AmpliTube ab oder umgekehrt.
Danke für den Link CountTo10, das wird in Zukunft sehr nützlich sein. @BillAlsept . Danke für die Erklärung. Obwohl das hilft, mache ich mir mehr Sorgen darüber, warum die Mathematik nicht mit der Antwort übereinstimmt. Der Grund dafür ist, dass ich für diese Prüfung die meisten meiner Antworten (zu verschiedenen Themen, nicht nur zu einfachen harmonischen Bewegungen) auf das stütze, was mir die Mathematik zeigt; aber hier führt mich die Mathematik zur falschen Antwort und ich versuche herauszufinden, warum das so ist. Ich gehe davon aus, dass die bereitgestellten Formeln etwas anderes aufweisen, was es nicht erlaubt, eine in die andere einzufügen.
Willst du nicht sagen T = 2 π ω = 1 F
Oh Gott, ich denke schon. Der 2. Strich im Gleichheitszeichen ist wahrscheinlich verschwunden (wie Sie oben sehen können), als die Originalseite in ein PDF gescannt wurde, das ich abgelesen habe. Verzeihung! Aber danke, dass du das aufgegriffen hast.

Antworten (2)

Nur um den Punkt nach Hause zu bringen, Ihre Ableitung zeigt tatsächlich nicht, dass die Periode von der Amplitude abhängt. Bleiben wir bei der Kreisfrequenz (gleiches Geschäft). Was wir wirklich haben, ist ω ( T ) = Sünde − 1 ⁡ ( X ( T ) A ) T . Aber nun, wie hängt x gut von t ab, haben wir dann

ω ( T ) = Sünde − 1 ⁡ ( A S ich N ( ω T ) A ) T = Sünde − 1 ⁡ ( S ich N ( ω T ) ) T = ω
Mit anderen Worten, Ihre Ableitung ist eine vollständige Tautologie

Danke, dass du das erklärt hast. Ich weiß nicht, ob es eine einfache Lösung gibt, aber gibt es eine Möglichkeit, dies zu vermeiden (wie eine kreisförmige Ableitung oder einen x = x-Fall) oder zu erkennen, wann dies geschieht? Es kam mir gar nicht in den Sinn, dass ich das getan haben könnte. Während der Prüfungszeit werde ich nicht wirklich in der Lage sein, etwas immer wieder zu überprüfen, um sicherzustellen, dass ich das nicht getan habe. Gibt es also verräterische Anzeichen, die es Ihnen verraten haben?
Alles, was ich sagen kann, ist, mehr als eine Gleichung in Ableitungen zu verwenden. Das sollte die Wahrscheinlichkeit zirkulärer Ableitungen verringern
Tut mir leid, ich verstehe nicht wirklich, was du meinst. In der obigen Ableitung habe ich mehr als eine Gleichung verwendet. Gleichung 1)x=A∗sin(ωt) und Gleichung 2)T=2pi/w=1/f (was ich aber fälschlicherweise als T-2pi geschrieben habe).
Ich sollte klarer sein, es ist eine gute Idee, mehr als eine unabhängige Gleichung zu verwenden, die zweite Gleichung ist nur die Umkehrung von Omega. Also können wir das Zweite ignorieren und uns nur mit dem Ersten befassen. Es gibt also wirklich eine Gleichung.

Es ist, weil X kommt drauf an T so, dass keine Abhängigkeit besteht A im Ausdruck gelassen. A Und ω sind Konstanten, die nicht von der Zeit abhängen, und X ist eine Funktion der Zeit; es ist die Position zur Zeit T , normalerweise geschrieben X ( T ) .

Wenn die Kraft nicht das Hookesche Gesetz ist, dann können Sie eine Beziehung zwischen bekommen A Und ω . Der Grund dafür liegt darin, dass die Energie eines einfachen harmonischen Oszillators ist

E = 1 2 M [ v ( T ) ] 2 + 1 2 k [ X ( T ) ] 2 ,
das ist die Gleichung für eine Ellipse in X - v Raum, egal wie groß die Amplitude/Energie ist. Der einfache harmonische Oszillator dreht sich nur um diese Ellipse mit einer konstanten Kreisfrequenz, ω . Wenn ich den Begriff der potentiellen Energie ändern würde, sagen Sie:
E = 1 2 M [ v ( T ) ] 2 + 1 4 k [ X ( T ) ] 4 ,
dann ist die Form mit konstanter Energie keine Ellipse mehr, und die Form ändert sich, wenn sich die Energie ändert, so dass Amplitude und Periode in Beziehung treten.

Ein weiteres Beispiel, ein Blick auf die Umlaufbahnen von Planeten und Keplers drittes Gesetz – dort stehen die Amplitude entlang der Hauptachse und die Periode in Beziehung zu:

T 2 A 3 = 4 π 2 G ( M + M )

Einfache harmonische Bewegung: Warum ist die Periode unabhängig von der Amplitude, selbst wenn die Winkelgeschwindigkeit mit der Amplitude in Beziehung steht?
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