Position zweier durch eine Feder verbundener Blöcke als Funktion der Zeit

Question

Position zweier durch eine Feder verbundener Blöcke als Funktion der Zeit

Schraube1954

Zwei Blöcke A und B sind durch eine Feder mit Federkonstante verbunden $k$ . $A$ wird eine Anfangsgeschwindigkeit verliehen $u$ nach rechts entlang der positiven x-Achse. Wenn $B$ wurden dann die Bewegung von fixiert $A$ könnte mit einer einfachen harmonischen Bewegungsgleichung beschrieben werden $x=\sqrt{\frac{m}{k}}u\sin(\omega t)$ . Aber hier $B$ ist nicht fixiert und kann sich frei auf der reibungsfreien Oberfläche bewegen. Also, während Geschwindigkeit von $A$ reduziert, Geschwindigkeit von $B$ erhöht sich. Wie können wir also die Position von finden? $A$ Und $B$ als Funktion der Zeit in dieser Situation?

MEIN VERSUCH :

M u - k X D T = M v_{A}

$mu-kx dt = mv_{A}$

k X = M v_{B}

$kx=mv_{B}$

\frac{1}{2} M u^{2} = \frac{1}{2} k X^{2} + \frac{1}{2} M v_{A}^{2} + \frac{1}{2} M v_{B}^{2}

$\frac{1}{2}mu^2=\frac{1}{2}kx^2+\frac{1}{2}mv^2_{A}+\frac{1}{2}mv^2_{B}$

( $x$ ist Kompression der Feder zu jeder Zeit $t$ )

Aber danach weiß ich nicht, wie ich die Position finden soll $A$ Und $B$ .

Bitte beachten Sie, dass ich bisher nur Newtonsche Mechanik und einfache harmonische Bewegung studiert habe. Verwenden Sie also keine sehr hochrangigen Konzepte. Bitte lassen Sie mich auch wissen, wenn ich gegen eine Hausaufgabenrichtlinie verstoßen habe. Ich habe die Richtlinien für Hausaufgabenfragen durchgelesen und dann diese Frage geschrieben. Ich hoffe, es erscheint nicht als Hausaufgabenfrage. Wenn ja, lassen Sie es mich wissen, ob ich es irgendwie bearbeiten kann. Hinweise und Anregungen sind willkommen.

Antworten (2)

Position zweier durch eine Feder verbundener Blöcke als Funktion der Zeit

Jim Haddoc · Answer 1

Bei dieser Frage ist es sehr einfach, wenn wir zum Rahmen des Schwerpunkts (COM) wechseln (wenn Sie nichts über COM wissen, lesen Sie darüber und lesen Sie dann weiter).

Die Geschwindigkeit des COM-Frames ist

v_{C M} = \frac{M u_{A} + M u_{B}}{M + M} = \frac{u_{A} + u_{B}}{2} = \frac{u}{2}

$v_{cm}=\frac{mu_a + mu_b}{m+m}= \frac{u_a + u_b}{2} = \frac{u}{2}$ Da es keine äußeren Kräfte gibt,

v_{c m}

$v_{cm}$ ist konstant.
Lassen Sie die Geschwindigkeiten von

A

$A$ Und

B

$B$ im Massenmittelpunkt sein

v_{a}

$v_a$ Und

v_{b}

$v_b$ . Daher,

v_{A} = u_{A} - v_{C M} = \frac{u_{A} - u_{B}}{2}

$v_a = u_a-v_{cm}= \frac{u_a-u_b}{2}$

v_{B} = u_{B} - v_{C M} = \frac{u_{B} - u_{A}}{2}

$v_b = u_b-v_{cm}= \frac{u_b-u_a}{2}$ Das bedeutet, dass

v_{a} = - v_{b}

$v_a=-v_b$ , was wunderbar ist! Wenn Sie eine Weile darauf starren, werden Sie feststellen, dass dies bedeutet, dass die Körper in Phase schwingen und dass ihre Verschiebungen im COM-Frame gleich und entgegengesetzt sind. So würde es aussehen: Nehmen wir nun an, dass die Positionen von

A

$A$ Und

B

$B$ im COM-Rahmen sind:

X_{A} = - a Sünde (ω T)

$x_a= -\alpha \sin(\omega t)$

X_{B} = a Sünde (ω T)

$x_b= \alpha \sin(\omega t)$ Schreiben der Kraftgleichung in die COM,

M {\ddot{X}}_{A} = - k (X_{A} - X_{B})

$m\ddot x_a = -k(x_a-x_b)$

⟹ M ω^{2} a Sünde (ω T) = 2 k a Sünde (ω T)

$\Longrightarrow m\omega^2 \alpha \sin(\omega t)= 2k\alpha \sin(\omega t)$

⟹ ω = \sqrt{\frac{2 k}{M}}

$\Longrightarrow \omega=\sqrt{\frac{2k}{m}}$

Lassen Sie uns nun versuchen, es zu finden

α

$\alpha$ durch Anwendung der Energieerhaltung im Ruhesystem. Die maximale Verlängerung im Frühjahr ist

2 α

$2\alpha$ was passiert, wenn die Geschwindigkeiten von A und B gleich sind

\frac{u}{2}

$\frac{u}{2}$ (dh sie ruhen im COM-Rahmen). Wenden wir die Energieeinsparung an, erhalten wir

\frac{k (2 a)^{2}}{2} + 2 \frac{M v_{C M}^{2}}{2} = \frac{M u^{2}}{2}

$\frac{k(2\alpha)^2}{2} + 2\frac{mv_{cm}^2}{2}=\frac{mu^2}{2}$

⟹ 2 k a^{2} = \frac{M u^{2}}{4}

$\Longrightarrow 2k\alpha^2 = \frac{mu^2}{4}$

⟹ a = \frac{u}{2} \sqrt{\frac{M}{2 k}}

$\Longrightarrow \alpha = \frac{u}{2}\sqrt{\frac{m}{2k}}$
Nun ist die Position des Massenmittelpunkts gegeben durch

x_{c m} = v_{c m} t = \frac{u t}{2}

$x_{cm} =v_{cm}t=\frac{u t}{2}$ . Somit sind die Positionen von A und B:

X_{A} (T) = \frac{u T}{2} - a Sünde (ω T)

$X_a(t)= \frac{u t}{2} -\alpha \sin(\omega t)$

X_{B} (T) = \frac{u T}{2} + a Sünde (ω T)

$X_b(t)= \frac{u t}{2} + \alpha \sin(\omega t)$ Wo

ω = \sqrt{\frac{2 k}{M}}

$\omega=\sqrt{\frac{2k}{m}}$

a = \frac{u}{2} \sqrt{\frac{M}{2 k}}

$\alpha = \frac{u}{2}\sqrt{\frac{m}{2k}}$

Jens · Answer 2

Da auf das Zweimassensystem keine äußeren Kräfte einwirken, ist der Gesamtimpuls m(Va+Vb) zeitlich konstant und dies ist die fehlende Gleichung. Auch das Gesamtpotential und die kinetische Energie des Systems k(Xb-Xa)^2/2+ m(Va^2+Vb^2)/2 bleibt konstant, wie Sie in Ihrer letzten Gleichung gezeigt haben, wo Sie anscheinend Vb = angenommen haben Vb0 = 0 bei t =0. Weiterhin bewegt sich der Massenschwerpunkt des Systems mit der konstanten Geschwindigkeit V = (Va+Vb)/2 also (Xb + Xa)/2 = Xb0/2 + Vt. Daher sind Ihre Gleichungen nicht ganz vollständig und die erste hat wahrscheinlich einen Tippfehler . Wenn man es wiederholt, ist die richtige Antwort aufgrund gegebener Startgeschwindigkeiten und Positionen beider Massen nicht schwer zu berechnen, aber mit Ihrer Intuition können Sie eine symmetrische Schwingungsbewegung um den Massenmittelpunkt ableiten, die sich mit konstanter Geschwindigkeit V bewegt.

Position zweier durch eine Feder verbundener Blöcke als Funktion der Zeit

Schraube1954

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Jim Haddoc

Jens

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