Feder-Masse-Pendel "über Newtons Gesetze"

Ein guter Anfang ist es, ein Freikörperdiagramm aller Teile zu erstellen. Markiere bekannte und unbekannte Kräfte. Denken Sie daran, wenn Sie eine Kraft haben$\mathbf{F}$an einem Teil am Kontaktpunkt mit einem anderen Teil, an dem sich berührenden Teil haben Sie eine Kraft$-\mathbf{F}$. Stellen Sie dann eine Differentialgleichung für die Bewegung auf, wenn die Gesamtkräfte auf die interessierenden Teile gegeben sind.

Den ersten Schritt haben Sie getan, nämlich die Freiheitsgrade des Systems zu erkennen ($x$Und$\theta$). Nennen wir den Blockkörper [1] und den Kugelkörper [2] und die Stablänge$\ell$.

• Kinematik
  • Drücken Sie die Position der Gelenke und der Massenschwerpunkte als Funktion der Freiheitsgrade aus. Zum Beispiel $${\bf r}_{2} = ( x + \ell \sin \theta, -\ell \cos \theta,0)$$
  • Drücken Sie die Rotationsgeschwindigkeiten auf ähnliche Weise aus $${\boldsymbol \omega}_2 = \dot{\theta} {\bf \hat{z}}$$
  • Nehmen Sie die totale Ableitung der Position, um die Geschwindigkeit und dann die Beschleunigung der Massenschwerpunkte zu finden. Zum Beispiel $${\bf v}_2 = (\dot{x} + \dot{\theta} \ell \cos\theta, \dot{\theta} \ell \sin \theta,0)$$ Und $${\bf a}_2 = (\ddot{x} + \ddot{\theta} \ell \cos\theta - \ell \dot{\theta}^2 \sin \theta, \ddot{\theta} \ell \sin \theta + \ell \dot{\theta}^2 \cos \theta,0)$$
  • Nehmen Sie die Gesamtableitung der Rotationsgeschwindigkeit für die Rotationsbeschleunigung $${\boldsymbol \alpha}_2 = \ddot{\theta}{\bf \hat{z}}$$
• Dynamik
  • Erstellen Sie für jeden Körper ein Freikörperdiagramm und summieren Sie die Kräfte auf jeden Körper und die Drehmomente um jeden Massenmittelpunkt auf jedem Körper. Wenden Sie für jedes Gelenk geeignete Reaktionskräfte auf den nächsten Körper und gleiche und entgegengesetzte Kräfte auf den vorherigen an. Zum Beispiel (in Anbetracht der Spannung$T$, Reibung$f_1$und Normalkraft$n_1$) $$\begin{align} \Sigma {\bf F}_1 & = {\bf T}_{12} + {\bf W}_1 & \Sigma {\bf F}_2 & = -{\bf T}_{12} + {\bf W}_2 \\ & = \begin{pmatrix} T \sin\theta+f_1 \\ -T \cos\theta-m_1 g+n_1 \\ 0 \end{pmatrix} & & = \begin{pmatrix} -T \sin\theta \\ T \cos\theta-m_2 g \\ 0 \end{pmatrix} \end{align}$$ _{${\bf W}$bezeichnet aufgebrachte Kräfte und${\bf T}$interne gemeinsame Kräfte}
  • Bewegungsgleichungen $$\begin{align} \Sigma {\bf F}_1 & = m_1 {\bf a}_1 &\Sigma {\bf F}_2 & = m_2 {\bf a}_2 \\ \Sigma {\bf M}_1 & = I_1 {\boldsymbol \alpha}_1 + {\boldsymbol \omega}_1 \times I_1 {\boldsymbol \omega}_1 & \Sigma {\bf M}_2 & = I_2 {\boldsymbol \alpha}_2 + {\boldsymbol \omega}_2 \times I_2 {\boldsymbol \omega}_2 \end{align}$$ _{Bei 3D-Problemen muss darauf geachtet werden, dass die Massenträgheitsmomentmatrix entlang der Weltkoordinaten und nicht der Körperkoordinaten ausgedrückt wird.$I = {\rm R} I_{body} {\rm R}^\top$}