Effektive Masse im Feder-mit-Masse/Masse-System

Question

Effektive Masse im Feder-mit-Masse/Masse-System

pppqqq

Angenommen, Sie haben ein Masseteilchen $m$ an einer Massefeder befestigt $m_0$ die wiederum an irgendeiner Wand befestigt ist. Ich versuche, die effektive Masse zu berechnen $m'$ das im Bewegungsgesetz des Teilchens erscheint (angenommen, das System ist isoliert):

M^{'} \ddot{X} = - k (X - X_{0}) .

$m'\ddot x=-k(x-x_0).$ Ich habe irgendwo gelesen, dass dies so sein sollte

m^{'} = m + m_{0} / 3

$m'=m+m_0/3$ , aber ich erhalte ein anderes Ergebnis.

Meine Überlegung ist wie folgt. Angenommen, das Teilchen befindet sich an der Position $x$ . Die Länge der Feder ist $x$ und wir können annehmen, dass sein Massenschwerpunkt bei liegt $x/2$ . Der Masseschwerpunkt Feder/Partikel liegt also bei:

X = \frac{\frac{M_{0}}{2} + M}{M + M_{0}} X

$X= \dfrac {\frac{m_0}{2} + m}{m+m_0}x$ Durch zweimaliges Differenzieren erhalten wir

\ddot{X} = \frac{\frac{M_{0}}{2} + M}{M + M_{0}} \ddot{X}

$\ddot X = \dfrac {\frac{m_0}{2} + m}{m+m_0}\ddot x$ Nun ist die einzige äußere Kraft, die eine Beschleunigung zum Massenmittelpunkt verursacht, genau die Deckenreaktion auf die elastische Kraft

- k (x - x_{0})

$-k(x-x_0)$ . Daher:

- k (X - X_{0}) = (M + M_{0}) \ddot{X} = (\frac{M_{0}}{2} + M) \ddot{X}

$-k(x-x_0)=(m+m_0)\ddot X=(\frac{m_0}{2} + m)\ddot x$ und so bekomme ich:

M^{'} = \frac{M_{0}}{2} + M .

$m'=\frac{m_0}{2} + m.$

Könnten Sie bitte darauf hinweisen, wo ich falsch liege (falls ja) und möglicherweise wie das Ergebnis demonstriert wird?

Mathusalem

Sie irren sich, wenn Sie annehmen, dass Sie das Problem in einer erhöhten Masse mit verschobenem Massenschwerpunkt sehen können. Die Feder verhält sich ganz anders. Die Lösung dazu ist ziemlich langwierig: Suchen Sie auf dieser Website nach einer ausführlichen Lösung: mathrec.org/old/2001dec/solutions.html Die Antwort, die Sie erhalten haben, stammt von Taylor, der die Lösung auf die Gleichungen erweitert. der Bewegung, wenn m >> m0

pppqqq

Danke für den Link, hat mir sehr geholfen. Aber ich verstehe noch nicht, wo meine Argumentation fehlerhaft ist. Ist es nur ein Zufall, dass es für den statischen Fall funktioniert, aber nicht für den dynamischen? Ich meine, im statischen Fall scheint es keinen Fehler zu geben. Ich schlage auch vor, dass Sie dies als Antwort posten, damit ich es akzeptieren kann.

John Alexiou

m^{'} \ddot{x} = \dots

$m' \ddot{x} = \ldots$ ist falsch. Sie können nicht eine massive Feder und ein lineares Kraftgesetz nehmen. Du musst eine Differentialgleichung lösen.

John Alexiou

Ich habe mich über dasselbe gewundert, und ich erinnere mich, dass ich dieses Problem vor ein paar Jahren gelöst habe. Aber wie, ich erinnere mich nicht. Ich erinnere mich auch, dass der 1/3-Bruch nur für niedrige Frequenzen gilt (< nat. freq.). Wenn die Frequenzen zunehmen, steigt auch das Verhältnis.

John Alexiou

Ich habe dies geschrieben , aber es ergibt ein Verhältnis von

\frac{4}{π^{2}} = 0.405

$\frac{4}{\pi^2}=0.405$ .

John Alexiou

Beachten Sie, dass bei der Konstruktion von Ventiltrieben Schraubenfedern die

\frac{1}{3}

$\frac{1}{3}$ Behandlung, aber Bienenstockfedern erhalten ein höheres Verhältnis. Teilweise bis zu

\frac{1}{2}

$\frac{1}{2}$ .

pppqqq

@ja72: Entschuldigung, ich konnte bis jetzt nicht antworten, aber dieser Link, den Sie gepostet haben, ist für mich etwas zu weit fortgeschritten, da ich zum Beispiel die Wellengleichung noch nie gesehen habe (bis gestern). Ich werde es für eine zukünftige Lektüre aufbewahren.

QMechaniker

Kinetische Energie

T = \frac{M}{2} v^{2} \int_{0}^{1} α^{2} d α = \frac{M}{6} v^{2}

$T=\frac{M}{2}v^2\int_0^1\alpha^2 d\alpha=\frac{M}{6}v^2$ der Feder an einem Ende befestigt.

Antworten (1)

Effektive Masse im Feder-mit-Masse/Masse-System

Sie irren sich, wenn Sie annehmen, dass Sie das Problem in einer erhöhten Masse mit verschobenem Massenschwerpunkt sehen können. Die Feder verhält sich ganz anders. Die Lösung dazu ist ziemlich langwierig: Suchen Sie auf dieser Website nach einer ausführlichen Lösung: mathrec.org/old/2001dec/solutions.html Die Antwort, die Sie erhalten haben, stammt von Taylor, der die Lösung auf die Gleichungen erweitert. der Bewegung, wenn m >> m0
Danke für den Link, hat mir sehr geholfen. Aber ich verstehe noch nicht, wo meine Argumentation fehlerhaft ist. Ist es nur ein Zufall, dass es für den statischen Fall funktioniert, aber nicht für den dynamischen? Ich meine, im statischen Fall scheint es keinen Fehler zu geben. Ich schlage auch vor, dass Sie dies als Antwort posten, damit ich es akzeptieren kann.
$m' \ddot{x} = \ldots$ ist falsch. Sie können nicht eine massive Feder und ein lineares Kraftgesetz nehmen. Du musst eine Differentialgleichung lösen.
Ich habe mich über dasselbe gewundert, und ich erinnere mich, dass ich dieses Problem vor ein paar Jahren gelöst habe. Aber wie, ich erinnere mich nicht. Ich erinnere mich auch, dass der 1/3-Bruch nur für niedrige Frequenzen gilt (< nat. freq.). Wenn die Frequenzen zunehmen, steigt auch das Verhältnis.
Ich habe dies geschrieben , aber es ergibt ein Verhältnis von $\frac{4}{\pi^2}=0.405$ .
Beachten Sie, dass bei der Konstruktion von Ventiltrieben Schraubenfedern die $\frac{1}{3}$ Behandlung, aber Bienenstockfedern erhalten ein höheres Verhältnis. Teilweise bis zu $\frac{1}{2}$ .
@ja72: Entschuldigung, ich konnte bis jetzt nicht antworten, aber dieser Link, den Sie gepostet haben, ist für mich etwas zu weit fortgeschritten, da ich zum Beispiel die Wellengleichung noch nie gesehen habe (bis gestern). Ich werde es für eine zukünftige Lektüre aufbewahren.
Kinetische Energie $T=\frac{M}{2}v^2\int_0^1\alpha^2 d\alpha=\frac{M}{6}v^2$ der Feder an einem Ende befestigt.

GCLL · Answer 1

Sie können den Faktor auf einfache Weise verstehen $1/3$ was Ihnen auf folgende Weise die ungefähre Lösung im Niederfrequenzbereich (dazu später mehr) gibt. Schreiben Sie zunächst die kinetische Energie Ihres Systems als:

K = \frac{1}{2} M \dot{δ} (ℓ)^{2} + \int_{0}^{ℓ} \frac{1}{2} λ \dot{δ} (u)^{2} D u

$K = \frac{1}{2} m \dot{\delta}(\ell)^2 + \int_0^\ell \frac{1}{2} \lambda \dot{\delta}(u)^2 du$

Wo $\delta(u)$ ist die Verschiebung des Punktes der Feder, die in der ist $x=u$ Position in der Gleichgewichtskonfiguration und $\lambda=m_0/\ell$ die lineare Massendichte der Feder. Die Feder hat Länge $\ell$ wenn ungespannt.

Nimmt man eine harmonische Bewegung der Masse bei sehr niedriger Frequenz an, so wird die Dehnung der Feder annähernd gleichförmig sein, das heißt

δ (u) = \frac{u}{ℓ} δ (ℓ)

$\delta(u) = \frac{u}{\ell} \delta(\ell)$

Wenn man diese Annäherung akzeptiert, indem man den Ausdruck für kinetische Energie einsetzt, erhält man

K = \frac{1}{2} M \dot{δ} (ℓ)^{2} + \frac{1}{2} \frac{M_{0}}{ℓ} \dot{δ} (ℓ)^{2} \int_{0}^{ℓ} \frac{u^{2}}{ℓ^{2}} D u

$K = \frac{1}{2} m \dot{\delta}(\ell)^2 + \frac{1}{2} \frac{m_0}{\ell} \dot{\delta}(\ell)^2 \int_0^\ell \frac{u^2}{\ell^2} du$

und nach einer Integration

K = \frac{1}{2} (M + \frac{1}{3} M_{0}) \dot{δ} (ℓ)^{2}

$K = \frac{1}{2} \left( m +\frac{1}{3} m_0 \right) \dot{\delta}(\ell)^2$

was das erwartete Ergebnis ist.

Das System hat unendlich viele Freiheitsgrade, was bedeutet, dass es unendlich viele Schwingungsmoden haben wird. Wenn $m\gg m_0$ der niedrigste Frequenzmodus wird näherungsweise als Schwingung der Masse bei gleichförmiger Dehnung der Feder beschrieben. In den höheren Frequenzmodi ist die Masse nahezu fixiert, und es gibt eine nahezu stationäre elastische Welle auf der Feder.

Der Fehler in Ihrer Argumentation besteht in der Annahme, dass die äußere Kraft, die auf das System Masse+Feder ausgeübt wird, ist $-k(x-x_0)$ . Die aufgebrachte Kraft ist wirklich die Spannung der Feder an ihrem festen Punkt, was nicht der Fall ist $-k(x-x_0)$ für eine Feder mit Masse bei Beschleunigungen.

Effektive Masse im Feder-mit-Masse/Masse-System

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Mathusalem

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John Alexiou

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GCLL

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