Verständnis der Querschwingung in 1-Masse-, 2-Feder-Systemen

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Verständnis der Querschwingung in 1-Masse-, 2-Feder-Systemen

Benutzer5831519

In letzter Zeit habe ich einige nette Probleme an Masse-Feder-Systemen durchgearbeitet. Es gibt unzählige verschiedene Konfigurationen - mehrere Massen, mehrere Federn, parallel/seriell usw.

Einige mögliche Konfigurationen sind hier aufgelistet: https://ccrma.stanford.edu/CCRMA/Courses/152/vibrating_systems.html . Am interessantesten finde ich das System 1 Masse, 2 Federn mit Querbewegung:

Auf dieser Seite steht geschrieben:

„Werden die Federn aus ihrer entspannten Länge zunächst stark gedehnt (aber nicht verspannt), ist die Schwingungsfrequenz nahezu gleich wie bei Längsschwingungen.

Wenn die Federn anfänglich sehr wenig von ihrer entspannten Länge gedehnt werden, ist die "Eigenfrequenz" viel niedriger und die Vibrationen sind für alle außer den kleinsten nichtlinear (nicht sinusförmig). $y$ -Achsenverschiebungen."

Wenn ich das richtig verstehe, bedeutet dies, dass sich das System bei der anfänglichen Verschiebung einer einfachen harmonischen Bewegung nähert $y_0$ ist entweder sehr klein oder sehr groß.

Ich versuchte zu sehen, ob ich dies selbst beweisen könnte, indem ich die Schwingungsdauer als Funktion der anfänglichen Verschiebung betrachtete $y_0$ , aber ich habe ein Problem:

Angenommen, die Masse ist eine Entfernung $\Delta y$ aus der Gleichgewichtslage. Dann hat jede Feder Länge $\sqrt {a^2+\Delta y^2}$ , also wird jede Feder gedehnt $\sqrt {a^2+\Delta y^2}-a$ von seiner ursprünglichen Länge. Daher übt jede Feder eine Rückstellkraft von aus $k(\sqrt {a^2+\Delta y^2}-a)$ . Die Größe der Netto-Rückstellkraft auf die Masse ist dann

$|F_r|=2k(\sqrt {a^2+\Delta y^2}-a)\sin(\theta)=2k(\Delta y-a\sin(\theta))$

Ersetzen $\sin(\theta)=\Delta y/\sqrt {a^2+\Delta y^2}$ , wir bekommen:

$|F_r|=2k\Delta y(1-a/\sqrt {a^2+\Delta y^2})$

Wir haben also die Differentialgleichung:

$y''=-(2k/m)y(1-a/\sqrt {a^2+y^2})$ .

Wenn $y$ ist dann sehr groß $y''\approx -(2k/m)y$ , das ist eine einfache harmonische Bewegung mit Periode $2\pi\sqrt{2k/m}$ . Das macht Sinn, denn wenn $y$ sehr groß ist, wirken die beiden Federn im Wesentlichen parallel, so dass wir effektiv ein 1-Federsystem in Längsbewegung mit Federkonstante haben $2k$ , was zum gleichen Ergebnis führt.

Wenn jetzt $y$ sehr klein ist, bin ich mir nicht sicher, welche Näherungsformeln ich verwenden soll, damit die Dinge gut herauskommen. Laut der Webseite sollte ich das Ergebnis erhalten, dass der Zeitraum größer als sein wird $2\pi\sqrt{2k/m}$ .

Knzhou

Dies ist ein quartischer Oszillator. Ich glaube nicht, dass es eine analytische Lösung gibt, aber Sie können zeigen, dass seine Periode größer ist, indem Sie sehen, dass die Rückstellkraft immer kleiner ist als die eines äquivalenten harmonischen Oszillators.

Antworten (2)

Verständnis der Querschwingung in 1-Masse-, 2-Feder-Systemen

Dies ist ein quartischer Oszillator. Ich glaube nicht, dass es eine analytische Lösung gibt, aber Sie können zeigen, dass seine Periode größer ist, indem Sie sehen, dass die Rückstellkraft immer kleiner ist als die eines äquivalenten harmonischen Oszillators.

Floris · Answer 1

Ich glaube, Sie missverstehen, was sie damit meinen

Wenn die Federn anfänglich sehr wenig von ihrer entspannten Länge gedehnt werden

Sie verstehen darunter "große Verschiebung aus dem Gleichgewicht" - aber ich denke, es bedeutet "beide Federn sind im Gleichgewicht unter Spannung". In diesem Fall gibt es eine erhebliche Spannung $T$ ohne Verschiebung und für kleine Verschiebungen $y$ die Rückstellkraft ist näherungsweise gegeben durch

F = T Sünde θ \approx T \frac{j}{a}

$F = T \sin\theta \approx T ~\frac{y}{a}$

Da $T$ wird sich nicht viel ändern, wenn es ziemlich viel Vorspannung gab, wird das System linear sein.

Bei geringer Vorspannung wird die Rückstellkraft jedoch hauptsächlich durch die zusätzliche Federdehnung verursacht. Bei Vorspannung Null ergibt sich die Rückstellkraft (für kleine Auslenkungen) zu

\begin{aligned} F & = k (\sqrt{j^{2} + a^{2}} - a) Sünde θ \\ = k a (\sqrt{1 + \frac{j^{2}}{a^{2}}} - 1) \frac{j}{a} \\ \approx \frac{k j^{3}}{2 a^{2}} \end{aligned}

$\begin{align}\\ F &= k\left(\sqrt{y^2+a^2}-a\right)\sin\theta\\ &=ka\left(\sqrt{1+\frac{y^2}{a^2}}-1\right)\frac{y}{a}\\ &\approx\frac{ky^3}{2a^2} \end{align}$

Wenn also der Spannungsanstieg aufgrund der seitlichen Verschiebung signifikant ist, wird die Bewegung nichtlinear.

AKTUALISIEREN

Wir können dies sowohl für horizontale als auch für vertikale Verschiebungen betrachten. Angenommen, die ungedehnte Länge der Federn ist $L_0$ , und die gestreckte Länge (im Gleichgewicht) ist $L\gg L_0$ . Wenn wir uns um einen kleinen Betrag verschieben $dx$ horizontal und eine kleine Menge $dy$ vertikal (beide $\ll LL$ ), dann können wir die horizontalen und vertikalen Kräfte auf die Masse berechnen.

Zuerst berechnen wir die neue Länge der Feder. Das wird sein

L_{1} = \sqrt{(L + d x)^{2} + d j^{2}}

$L_1 = \sqrt{(L+dx)^2+dy^2}$

für den Frühling auf der linken Seite, und

L_{2} = \sqrt{(L - d x)^{2} + d j^{2}}

$L_2 = \sqrt{(L-dx)^2+dy^2}$

für den Frühling auf der rechten Seite.

Die Nettokraft auf die Masse ergibt sich aus den horizontalen und vertikalen Spannungskomponenten der Feder.

Bei der horizontalen Komponente bemerken wir das

F_{x} = T_{1} \cos a_{1} - T_{2} \cos a_{2}

$F_x = T_1 \cos\alpha_1 - T_2\cos\alpha_2$

für kleine Winkel vereinfacht sich dies zu

F_{x} = T_{1} - T_{2} = k L [{({((1 + \frac{d x}{L})}^{2} + {(\frac{d j}{L})}^{2})}^{1 / 2} - {({((1 - \frac{d x}{L})}^{2} + {(\frac{d j}{L})}^{2})}^{1 / 2}] \approx 2 k d x

$F_x = T_1 - T_2\\ = kL\left[\left(\left((1+\frac{dx}{L}\right)^2+\left(\frac{dy}{L}\right)^2\right)^{1/2}-\left(\left((1-\frac{dx}{L}\right)^2+\left(\frac{dy}{L}\right)^2\right)^{1/2}\right]\\ \approx 2kdx$

Für die vertikale Kraftkomponente nähern wir uns der Summe von an $T_1$ und $T_2$ , und finden, dass es nur mit höheren Ordnungen von variiert $dx$ und $dy$ - so betrachten wir es ( $T_1+T_2$ ) konstant für kleine Verschiebungen. Die vertikale Kraft $F_y = 2T\sin\alpha\approx 2T\frac{dy}{L}$ wird dann nur abhängen $dy$ und nicht an $dx$ . Horizontale und vertikale Schwingungen sind also unabhängig und linear.

Zor Shechtman · Answer 2

Bitte sehen Sie sich die Vorlesung auf http://www.unizor.com unter Physics 4 Teens > Waves > Transverse Waves > Musical Strings 1 an . Es modelliert eine Musiksaite (wie die auf einer Geige) mit einem Modell, das Sie beschreiben. Es erklärt, warum Schwingungen mit kleiner vertikaler Abweichung nahezu harmonisch sind. Die Kreisfrequenz $\omega$ dieser Schwingungen ist

ω^{2} = \frac{2 κ}{[m (1 + L / l)]}

$\omega^2 = \frac{2κ}{[m(1+L/l)]}$ wo

k

$k$ - Elastizität einer Saite,

m

$m$ - Masse,

L

$L$ - Länge im neutralen Zustand,

l

$l$ - Anfangsdehnung, um Spannung zu erzeugen.

Insbesondere ist aus dieser Formel ersichtlich, dass je höher die Anfangsspannung (höhere Anfangsdehnung $l$ ), desto höher die Kreisfrequenz $\omega$ , das heißt, der höhere Ton eines Tons, der von einer Saite erzeugt wird.

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Benutzer5831519

Knzhou

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Floris

Zor Shechtman

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