Feder-Masse-System mit komplexer Federkonstante

Stellen Sie sich ein System vor, das eine Masse enthält M auf reibungsfreier Oberfläche, durch eine Feder an einer Wand befestigt. Die Federkonstante ist komplex, gegeben durch K = K 1 + K 2 ich , mit K 1 ≫ K 2 . Schreiben Sie die Bewegungsgleichung auf und zeigen Sie, dass sie die Dynamik eines gedämpften Oszillators hat.

Also, Newtons zweites Gesetz:

M X ¨ = − ( K 1 + K 2 ich ) X ⇔ X ¨ = − K 1 + K 2 ich M X
Lösen für X = e λ T , wir bekommen
λ 2 = − K 1 + K 2 ich M ⇔ λ = ± 1 M − ( K 1 + K 2 ich )
λ = ± K 1 M ich 1 + K 2 K 1 ich ≈ ± K 1 M ich ( 1 + K 2 2 K 1 ich ) = ± K 1 M ich ∓ K 1 M K 2 2 K 1
Hier stecke ich fest. Da die Wurzeln keine komplexen Konjugierten sind, erhalten wir die Lösung nicht
X ( T ) = e − K 1 M K 2 2 K 1 T ( A cos ⁡ ( K 1 M T ) + B Sünde ⁡ ( K 1 M T ) )

Das ist, was ich zu finden geführt wurde. Die Lösungen werden komplex sein, was nicht physikalisch ist.

Irgendeine Hilfe?

Antworten (2)

Ich bin (noch) kein Physik-Guru, aber hier sind meine 50 Cent:

Seit λ eine komplexe Schwingungsfrequenz darstellt, sind Sie nicht an einem negativen Realteil der Wurzel interessiert (da die negative Frequenz nicht physikalisch ist, oder zumindest in der naiven Interpretation).

Also ziehst du stattdessen die positive Wurzel und dann if λ ist eine Lösung für die ODE, ebenso ihre Konjugierte.

Die allgemeinste Lösung der Gleichung ist X = C 1 e − λ T + C 2 e λ T , wobei die Konstanten komplex sind. Die physikalische Wahl für Lambda in jedem dieser Begriffe ist diejenige, die einen exponentiellen Abfall erzeugt. Setzen Sie also die richtigen Werte von ein λ gibt Ihnen

X = e − K 1 M K 2 2 K 1 T ( C 1 e ich K 1 M T + C 2 e − ich K 1 M T )
Dann können Sie die komplexen Konstanten neu definieren als C 1 = ( A − ich B ) / 2 Und C 2 = ( A + ich B ) / 2 und verwenden Sie einige Identitäten, um die Gleichung in der Form zu erhalten, die Sie oben aufgestellt haben. Ich möchte anmerken, dass die Form mit komplexen Koeffizienten und komplexen Exponentialen die allgemeinste Form ist, aber die Form, die Sie zu finden versuchten, ist die allgemeine Form der reellen Lösungen der Gleichungen.

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