Einfache harmonische Bewegung für Masse, die an vertikaler Feder befestigt ist

Ich habe mir also den Fall angesehen, in dem wir ein Massenobjekt haben M an einer Feder mit Federkonstante befestigt k . Die Feder wird an der Decke befestigt. Ich arbeitete daran, eine Bewegungsgleichung zum Lösen der Masse an dem Punkt zu finden, an dem die Feder entspannt ist, falls keine Last angebracht ist.

Definieren Sie den Anfangspunkt als j = 0 und nach oben als die positive Richtung zu nehmen, die ich erreichen konnte,

M j ″ = − k j − M G ⟹ j ″ + ω 2 j = − G

Hier ω 2 = k M . Dies führte zu einer Lösung

j ( T ) = G ω 2 [ C Ö S ( ω T ) − 1 ]

Unter der Annahme, dass dies zutrifft, würde das Objekt auf unbestimmte Zeit mit derselben Amplitude schwingen. Intuitiv würde ich denken, dass die Schwerkraft als dämpfende Kraft wirken würde, die bewirkt, dass die Schwingungen absterben, aber das scheint nicht der Fall zu sein. Macht es Sinn, dass das Objekt in diesem Fall ewig schwingt?

Ich bin mit Ihrer Lösung für nicht einverstanden j ( T ) (Ich bekomme j ( T ) = e ich ω 2 T − G ω 2 )
Ok, ich muss nochmal meine Arbeit überprüfen. Danke schön.
Definieren Sie die verschobene Variable Y = ω 2 j + G und finden Sie den EOM für Y ...
@ Ian B. Ist das Fehlen von G in deiner Gleichung für j ( T ) nur ein Tippfehler? es sollte auch ein relatives Vorzeichen zwischen den beiden wirkenden Kräften geben (andernfalls existiert möglicherweise keine Gleichgewichtslänge)
Ja ist es. Vielen Dank für den Hinweis. In Bezug auf das Vorzeichen ging ich davon aus, dass beide ein negatives Vorzeichen haben würden. Wenn nach oben dann positiv ist F G = − M G sondern um die Federkraft bei negativen Werten von positiv zu machen j und negativ für positive Werte, dann dachte ich mir, es müsste sein F S = − k j mit k > 0 .
@ Ian B. Ja, du hast Recht. In Ihrem Fall ist die Gleichgewichtslänge wo j = − M G / k , wenn nach oben positiv.
Die Schwerkraft ist konservativ.

Antworten (2)

In deiner Gleichung j ist die Verlängerung von der entspannten oder natürlichen Länge der Feder. Wenn Sie stattdessen die Ausdehnung der Feder von ihrer Gleichgewichtslänge messen j e (wobei die Nettokraft auf die Masse Null ist), finden Sie die gleiche Form der Gleichung für eine horizontale Masse auf einer Federanordnung.

− k j − M G = M j ¨ = − k ( j + M G k ) = − k ( j − j e )

Nun lass Y = j − j e = j + M G / k = j + G / ω 2 und in dieser verschobenen Variablen erhalten Sie

Y ¨ = − ω 2 Y .

Ein solches Ergebnis ist zu erwarten, da die Schwerkraft, wie in der anderen Antwort erwähnt, eine nicht dissipative Kraft ist, konservativ ist und als solche kein Netzwerk auf das System ausübt.

Für zeitlich abklingende Schwingungen würde eine inhomogene zeitabhängige Antriebskraft beispielsweise schematisch so aussehen j ( T ) in der anderen Antwort abgeleitet, damit für groß genug T , ruht die Feder auf ihrer Gleichgewichtslänge j e = − G / ω 2 .

Die Lösung hat keine Dämpfungsterme. Eine gedämpfte Schwingung wäre von der Form

j ″ + 2 ζ ω N j ' + ω N 2 j + G = 0

Wo k = M ω N 2 Und C = 2 ζ M ω N sind die Steifigkeits- bzw. Dämpfungskoeffizienten.

mit Lösung

j ( T ) = C + exp ⁡ ( − β T ) ( A Sünde ⁡ ( ω T ) + B Sünde ⁡ ( ω T ) ) β = ω N ζ ω = ω N 1 − ζ 2 C = − G ω N 2

und die Koeffizienten A Und B je nach Ausgangsbedingungen.

Einfache harmonische Bewegung für Masse, die an vertikaler Feder befestigt ist
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