An einer Feder befestigter Block, der auf einer Oberfläche mit Reibung schwingt

Question

An einer Feder befestigter Block, der auf einer Oberfläche mit Reibung schwingt

Versuchen Sie es mit der Freiheit

Stellen Sie sich einen Masseblock vor $m$ bewegt sich mit Anfangsgeschwindigkeit $v_o$ an einer Feder mit Federkonstante befestigt $k$ , auf einem Gelände, das einen Gleitreibungskoeffizienten hat $\eta$ und Haftreibungskoeffizient $\epsilon$ . Finden Sie die Zeit, die es dauert, bis Schwingungen absterben.

Wenn wir die Kraftgleichung des Blocks schreiben, wenn er sich nach rechts bewegt, erhalten wir:

M A = - k X - η M G

$ma = -kx - \eta mg$

Oder,

A = - \frac{k}{M} X - η G

$a = -\frac{k}{m} x - \eta g$

Für einen verschobenen harmonischen Oszillator der Form:

\begin{matrix} (1) & X (T) = A \cos (ω T + ϕ) + X_{0} \end{matrix}

$x(t) = A \cos(\omega t + \phi) + x_0 \tag{1}$

\ddot{X} = - ω^{2} (X (T) - X_{0})

$\ddot{x} = -\omega^2 ( x(t) - x_0)$

Vergleich mit der vorherigen Gleichung,

- η G = - ω^{2} X_{0}

$- \eta g = - \omega^2 x_0$

Somit,

\begin{matrix} (2) & \frac{η G}{ω^{2}} = X_{0} \end{matrix}

$\frac{ \eta g}{\omega^2} = x_0 \tag{2}$

Durch die Fundamentalgleichung der Federn

\begin{matrix} (3) & ω^{2} = \sqrt{\frac{k}{M}} \end{matrix}

$\omega^2 = \sqrt{\frac{k}{m}} \tag{3}$

Kombination 1,2,3:

X = A \cos (\frac{k}{M} T + ϕ) + \frac{M η G}{k}

$x = A \cos( \frac{k}{m} t + \phi) + \frac{m \eta g}{k}$

Jetzt der seltsame Teil:

Dies würde darauf hindeuten, dass die Oszillation ewig andauern würde! Es ist jedoch bekannt, dass Reibung eine dissipative Kraft ist und Energie aus dem System entfernt. Wenn also in jedem Zyklus Energie aus dem System entfernt wird, warum zeigt die Gleichung dies nicht?

Mögliche Auflösungen

Als ich intensiv über das Problem nachdachte, erkannte ich, dass meine Differentialgleichung immer dann bricht, wenn die Geschwindigkeit des Blocks auf Null fällt, weil dann plötzlich die Haftreibung die Gleitreibung ersetzt. Ich denke, diese plötzliche Verschiebung sollte nicht zu viele Probleme verursachen, aber ich bin mir nicht sicher. Wie geht man damit um, dass sich die Differentialgleichung der Bewegung plötzlich verschiebt? Oder ist es ein anderes Problem, das dieses seltsame Ergebnis verursacht hat, das ich erhalten habe?

Ich suche hauptsächlich nach einer Antwort, die die Auflösung der Bewegungsgleichung diskutiert, wenn v auf Null und das Zeichen der Reibung fällt

Update: Ich habe ein Papier gefunden, in dem dies diskutiert wird, kann später darauf basierend eine Antwort schreiben (siehe hier)

David Weiß

Ihre endgültige Gleichung sieht nicht wie eine gedämpfte harmonische Bewegung aus. Weitere Informationen finden Sie unter hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbase/oscda.html

FGSUZ

Ihr Problem ist, dass die Kraftgleichung ist

m a = - k (x - x_{0}) - η m g

$ma=-k(x-x_0)-\eta mg$ . Also der Begriff

η g

$\eta g$ ist neu und du hast keinen Vergleich damit. Es ist ein zusätzliches Element, das Ihre Dynamik verändern wird.

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Wenn man es ein wenig manipuliert, sieht es gleich aus, was ist das Problem daran?

Versuchen Sie es mit der Freiheit

Selbst wenn es kein gedämpfter Oszillator ist, zerstreut Reibung keine Energie @DavidWhite

David Weiß

@Buraian, ja, Reibung zerstreut Energie. Das heißt, die Amplitude folgt einer Exponentialfunktion mit negativem Exponenten, wie im Hyperphysik-Artikel angegeben.

Versuchen Sie es mit der Freiheit

Ok, das ist cool, aber hier ist meine Reibung konstant (außer wenn die Bewegung einen Punkt mit Nullgeschwindigkeit durchläuft), also denke ich, dass wir einen verschobenen Oszillator anstelle des gedämpften Oszillators verwenden können. Außerdem glaube ich nicht, dass es in dieser Gleichung einen gleichwertigen Begriff für Reibung gibt

Versuchen Sie es mit der Freiheit

Ich glaube, ich habe das Problem, aber ich bin mir nicht sicher, wie ich es beheben soll. Es ist, dass die Reibung das Vorzeichen abhängig vom Vorzeichen der Geschwindigkeit umdreht, aber ich bin mir nicht sicher, wie ich das in diff eqn erklären soll

Philipp

@ Buraian Du hast recht. Wenn ich mich recht erinnere, ist es am besten, es in jedem Regime separat zu lösen und dann die Lösungen zuzuordnen.

Versuchen Sie es mit der Freiheit

Es gibt keine globale Lösung? @ Philipp

Philipp

Nein, das habe ich nicht gemeint, ich meine, Sie schreiben separate Differentialgleichungen für jede Fahrt – eine, wenn sich der Block (sagen wir) nach links bewegt, und eine, wenn er sich nach rechts bewegt – und dann argumentieren Sie, dass die Konstanten in diesen Lösungen wann passen sollte

v = 0

$v=0$ , und das bringt Ihnen die komplette Lösung. Dies war ein Problem, das mir vor einer Weile von einem Prof gegeben wurde, und ich erinnere mich vage, es so gelöst zu haben. Ich bin mir nicht sicher, ob es der einzige Weg ist.

Versuchen Sie es mit der Freiheit

Oh danke, das macht Sinn. Ich suche hauptsächlich nach einer Antwort, die die Auflösung der Bewegungsgleichung diskutiert, wenn v auf Null und das Zeichen der Reibung fällt

Chemomechanik

Eine ähnliche Frage wurde kürzlich gestellt , aber leider keine Antworten erhalten.

JEB

Die Lösung für dieses Problem kann online gefunden werden, und es wird erwähnt: Die analytische Lösung ist schwierig. Darüber hinaus gibt es je nach Startposition unterschiedliche Gültigkeitsbereiche (z. B. darf es sich überhaupt nicht bewegen). Der Schlüssel besteht darin, Energieüberlegungen zu verwenden, um zu zeigen, dass die Amplitudenabnahme linear und nicht exponentiell ist, das heißt: Sie verliert die gleiche absolute (nicht relative) Amplitude pro Schwingung.

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Könnten Sie einen Link teilen, wo Sie eine Lösung für dieses Problem gefunden haben?

JEB

jemand sollte es abtippen, es ist ein gutes Problem: projects.ncsu.edu/per/Articles/MarchewkaAbbott&Beichner.pdf

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Wow, danke, ich glaube nicht, dass ich das jemals alleine gefunden hätte

Antworten (1)

An einer Feder befestigter Block, der auf einer Oberfläche mit Reibung schwingt

Ihre endgültige Gleichung sieht nicht wie eine gedämpfte harmonische Bewegung aus. Weitere Informationen finden Sie unter hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbase/oscda.html
Ihr Problem ist, dass die Kraftgleichung ist $ma=-k(x-x_0)-\eta mg$ . Also der Begriff $\eta g$ ist neu und du hast keinen Vergleich damit. Es ist ein zusätzliches Element, das Ihre Dynamik verändern wird.
Wenn man es ein wenig manipuliert, sieht es gleich aus, was ist das Problem daran?
Selbst wenn es kein gedämpfter Oszillator ist, zerstreut Reibung keine Energie @DavidWhite
@Buraian, ja, Reibung zerstreut Energie. Das heißt, die Amplitude folgt einer Exponentialfunktion mit negativem Exponenten, wie im Hyperphysik-Artikel angegeben.
Ok, das ist cool, aber hier ist meine Reibung konstant (außer wenn die Bewegung einen Punkt mit Nullgeschwindigkeit durchläuft), also denke ich, dass wir einen verschobenen Oszillator anstelle des gedämpften Oszillators verwenden können. Außerdem glaube ich nicht, dass es in dieser Gleichung einen gleichwertigen Begriff für Reibung gibt
Ich glaube, ich habe das Problem, aber ich bin mir nicht sicher, wie ich es beheben soll. Es ist, dass die Reibung das Vorzeichen abhängig vom Vorzeichen der Geschwindigkeit umdreht, aber ich bin mir nicht sicher, wie ich das in diff eqn erklären soll
@ Buraian Du hast recht. Wenn ich mich recht erinnere, ist es am besten, es in jedem Regime separat zu lösen und dann die Lösungen zuzuordnen.
Nein, das habe ich nicht gemeint, ich meine, Sie schreiben separate Differentialgleichungen für jede Fahrt – eine, wenn sich der Block (sagen wir) nach links bewegt, und eine, wenn er sich nach rechts bewegt – und dann argumentieren Sie, dass die Konstanten in diesen Lösungen wann passen sollte $v=0$ , und das bringt Ihnen die komplette Lösung. Dies war ein Problem, das mir vor einer Weile von einem Prof gegeben wurde, und ich erinnere mich vage, es so gelöst zu haben. Ich bin mir nicht sicher, ob es der einzige Weg ist.
Oh danke, das macht Sinn. Ich suche hauptsächlich nach einer Antwort, die die Auflösung der Bewegungsgleichung diskutiert, wenn v auf Null und das Zeichen der Reibung fällt
Eine ähnliche Frage wurde kürzlich gestellt , aber leider keine Antworten erhalten.
Die Lösung für dieses Problem kann online gefunden werden, und es wird erwähnt: Die analytische Lösung ist schwierig. Darüber hinaus gibt es je nach Startposition unterschiedliche Gültigkeitsbereiche (z. B. darf es sich überhaupt nicht bewegen). Der Schlüssel besteht darin, Energieüberlegungen zu verwenden, um zu zeigen, dass die Amplitudenabnahme linear und nicht exponentiell ist, das heißt: Sie verliert die gleiche absolute (nicht relative) Amplitude pro Schwingung.
Könnten Sie einen Link teilen, wo Sie eine Lösung für dieses Problem gefunden haben?
jemand sollte es abtippen, es ist ein gutes Problem: projects.ncsu.edu/per/Articles/MarchewkaAbbott&Beichner.pdf
Wow, danke, ich glaube nicht, dass ich das jemals alleine gefunden hätte

Tal · Answer 1

Oder ist es ein anderes Problem, das dieses seltsame Ergebnis verursacht hat, das ich erhalten habe?

Das Problem ist, dass Ihre „Reibungs“-Kraft, $\eta m g$ , weist immer ins Negative $x$ Richtung. Sie verhält sich nicht wie Reibung, die immer in die entgegengesetzte Richtung zeigt $v$ .

Ich suche hauptsächlich nach einer Antwort, die die Auflösung der Bewegungsgleichung diskutiert, wenn v auf Null und das Zeichen der Reibung fällt

Das ist hier nicht das Problem. Es ist jedoch durchaus möglich, solche Effekte einzubeziehen. Normalerweise hat ein solches Kraftgesetz keine analytische Lösung, und Sie müssen sich auf numerische Methoden verlassen

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David Weiß

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Philipp

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Antworten (1)

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