Allgemeine Lösung eines Masse-Feder-Systems

Dies ist die Differentialgleichung, die vertikale Schwingungen einer Masse mit kleiner Amplitude beschreibt M das hängt an einer Feder

D 2 X D T 2 + B M D X D T + k M X = 0
Wo X ist definiert als die Verschiebung der Masse aus der Gleichgewichtslage, B ist die Dämpfungskonstante, T ist Zeit u k ist die Federkonstante.

Ich möchte eine allgemeine Lösung für den Fall finden, in dem eine kleine Dämpfung auftritt. Ich verstehe das als wenn die Dämpfung konstant ist B 2 < 4 k M aber ich bin mir nicht sicher, wie ich eine allgemeine Lösung finden soll. Welche Art von mathematischen Werkzeugen würde ich benötigen, um die Lösung zu finden, und würden diese Werkzeuge mir helfen, eine allgemeine Lösung zu finden, wenn es eine große Dämpfung oder sogar eine kritische Dämpfung gibt?

Hallo Ernie, ich habe dieses Beispiel zur Hyperphysik gesehen und obwohl es ein Beispiel dafür gibt, wie man die allgemeine Lösung findet, ist meine Gleichung etwas anders und ich kann sie nicht einmal mit der Substitutionsmethode lösen.

Antworten (1)

Ersatz X von A ( e w T ) .

Somit wird deine Gleichung:

A ( w 2 ) ( e w T ) + A ( B M ) ( w ) ( e w T ) + ( k M ) ( A ) ( e w T ) = 0

Vereinfachung:

( w 2 ) + ( B M ) ( w ) + ( k M ) = 0

Finde die Wurzeln heraus. Hier versteht man das ( B 2 ) <= 4 k M für reale Werte von w .

Lass die Wurzeln sein w 1 Und w 2

Schließlich lautet Ihre Lösung der Differentialgleichung:

Fall 1: w 1 Und w 2 sind verschieden:

X ( T ) = A ( e w 1 T ) + B ( e w 2 T )
Wo A Und B sind beliebige Konstanten.

Fall 2: w 1 Und w 2 sind identisch:

X ( T ) = A ( e w 1 T ) + B T ( e w 1 T )
Wo A Und B sind beliebige Konstanten.

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