Experimentelles Ergebnis kann nicht durch Theorie für 2-Feder-1-Masse-System erklärt werden

Deine Bewegungsgleichungen sind falsch. Um zu verstehen, warum, betrachten Sie den Fall in diesem Bild:

Was sind die$x$Und$y$Bestandteile der Kraft$\mathbf F$Auf die Masse wirken?

Wenn die Ruhelänge der Feder ist$l_0$und seine elastische Konstante ist$k$, die Kraft$\mathbf F$Ist

Wo$\hat r$wirkt in Richtung des roten Pfeils, dh$\hat r = (-\cos \theta, -\sin \theta)$. Der$x$Und$y$Komponenten sind daher

Wo

Wenn wir einer ähnlichen Methode wie Ihrer folgen würden, würden wir erhalten

Was falsch ist und dem Fall zweier unabhängiger Federn mit identischen Konstanten entspricht, die auf die Masse einwirken.

Nehmen wir den Fall mit zwei identischen Federn:

Basierend auf der vorherigen Analyse können Sie das leicht erkennen

Wo$\hat r_1 = (-\cos \theta_1, -\sin \theta_1)$Und$\hat r_2 = (\cos \theta_2, -\sin \theta_2)$. Daraus folgt, dass die$x,y$Komponenten sind

Wo

Die Bewegungsgleichungen sind daher recht kompliziert exakt zu lösen. Wenn Sie codieren können, würde ich vorschlagen, sie mit einem Integrator wie Velocity Verlet zu lösen .

Die Berechnung der Steifigkeit in$y$Richtung ist falsch. Die Steifheit drin$y$-Richtung hängt nicht von der Federsteifigkeit ab$k$, aber nur auf die Spannkraft$T$in den Federn und die Länge der Federn im Ruhezustand (wie sie an der Masse befestigt sind).

Die Steifheit drin$y$-Richtung ist gegeben durch:

Normalerweise gibt es keine Phasenverschiebung, weil die Frequenzen in$x$Und$y$Richtungen sind unterschiedlich. Sie können nur für bestimmte Werte von übereinstimmen$k$, Länge$L$des Frühlings u$T$. Wenn sie übereinstimmen, kann die Verschiebung wie Sie mit den Anfangsbedingungen bestimmt werden.

Wenn die Federn gespannt sind$T$im Gleichgewicht und die Amplituden klein sind, dann sind es die Rückstellkräfte$F_x \approx -2kx$Und$F_y \approx -2\frac{T}{L}y$, Wo$L$ist die gedehnte Länge der Feder, wie in Querschwingung in Systemen mit 1 Masse und 2 Federn verstehen erläutert . Wenn die natürliche Länge der Federn ist$L_0$Dann$T=k(L-L_0)$So$F_y \approx -2k(1-\frac{L_0}{L})$. Die Schwingungen in der$x$Und$y$Richtungen sind ca. linear und unabhängig, also einfach harmonisch, aber die Frequenzen unterscheiden sich im Verhältnis$f_y/f_x \approx \sqrt{1-\frac{L_0}{L}}$.

Dieser Frequenzunterschied bedeutet, dass die Phasendifferenz zwischen den$x$Und$y$Schwingungen nehmen allmählich zu. Die Bewegung ist nicht wie Ihre Graphen, die eine konstante Phasendifferenz zeigen. Stattdessen wechselt die Bewegung von einer linearen Schwingung wie in Graph 1 zu einer elliptischen Schwingung in Graph 2, die kreisförmig wird. Sie wird dann wieder elliptisch, diesmal aber mit der Linie (=Achse der Ellipse) an der y-Achse gespiegelt. Nachdem die Richtung der Schwingung wieder linear geworden ist, kehrt sie sich um und der Zyklus beginnt von neuem. Diese Bewegung wird durch eine Animation in Warum verhält sich die Vibration in meinem Draht so seltsam? und ist auch in deinem Video zu sehen.

Verwendung der von Ihnen bereitgestellten Daten$(L_0=13cm, L=25cm)$, Dann$1-\frac{L_0}{L} \approx 0.48$. Die Frequenzen sollten also im Verhältnis stehen$f_y/f_x \approx 0.69$. Von den 2 Läufen in der 1. Hälfte deines Videos, innerhalb von ca. 8s sind das 11 Zyklen$x$Oszillation und 7 Zyklen der$y$Schwingung, also$f_y/f_x = 7/11\approx 0.64$, was ziemlich nahe an der Vorhersage liegt.

Allerdings ist die$x$Und$y$Schwingungen scheinen nicht unabhängig voneinander zu sein. In der 2 läuft in der 2. Hälfte das Video, in dem$x$Und$y$Bewegungen treten gleichzeitig auf, das Verhältnis$f_y/f_x$ist ca.$8/9$anstatt$7/11$wenn diese Bewegungen getrennt sind. Der Frequenzunterschied ist deutlich kleiner und beide haben sich aufeinander zu bewegt. Dafür gibt es zwei Gründe: (i) Die Näherung für kleine Amplituden gilt nicht, also$F_x, F_y$jeweils abhängen$x$Und$y$- dh sie sind gekoppelt; (ii) Energie wird auch durch Reibung oder Hysterese gekoppelt. (Für ein Beispiel der Reibungskopplung zweier ansonsten unabhängiger Bewegungen siehe Rotationsphysik einer Spielkarte ).

Es ist nicht ersichtlich, wie die$\pi/2$eine von Ihrem Lehrer vorgeschlagene Phasendifferenz auftreten. Wenn eine Schwingung die andere antreibe, würde sie vorbeiziehen$\pi/2$. Das könnte passieren, wenn es zwei gekoppelte Massen gäbe, von denen eine viel schwerer als die andere wäre. Aber hier sind die Massen gleich.

Aus dem Video,$f_x \approx 11/8 \approx 1.4Hz$. Aus Ihren Messungen, vorausgesetzt$k$bezieht sich dann auf eine der beiden Federn$f_x \approx \frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{2k}{m}} =\frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{2 \times 60,000}{570}} \approx 2.3 Hz$. Möglicherweise Ihr Wert von$k$das ist nicht richtig?

Die Gleichung, für die Sie hergeleitet haben$F_y$gilt nur wann$L \gg L_0$. Dann$f_y/f_x \approx 1$Die Phasendifferenz bleibt also ca. Konstante. Wenn Sie das System aus dem Ruhezustand starten, ist die Phasendifferenz Null (Diagramm 1), da beide$x$Und$y$Beginnen Sie bei maximaler Verschiebung, damit sie die gleiche Phase haben. Die Amplituden müssen nicht gleich sein, da die Frequenz unabhängig von der Amplitude ist. Um eine konstante Phasendifferenz wie in Diagramm 2 zu haben, können Sie die Masse in die drücken$x$oder$y$Richtung, wenn Sie es loslassen.

Wenn die Amplitude der Schwingungen "groß" wird, dann die$x$Und$y$Schwingungen werden nichtlinear und gekoppelt. Sind die Federn im Gleichgewichtszustand sehr wenig oder gar nicht gespannt, sind die Querschwingungen auch bei kleinen Amplituden nichtlinear, mit einer Rückstellkraft proportional zu$y^3$.