Bewegung von nnn-Körpern, die mit Federn verbunden sind

Es ist nicht so, dass die endgültige Lösung so aussieht. Vielmehr suchen Sie aus zwei Gründen nach allen Lösungen dieser Form ( Normalmoden ):

• Sie sind leicht zu finden

• Anschließend können Sie jede Bewegung in eine Summe von Normalmoden zerlegen. Dies ergibt sich aus dem Schreiben Ihrer Bewegungsgleichungen in der Normalbasis*.

Also arbeiten Sie zuerst die normalen Modi aus, indem Sie eine Lösung wie die, die Sie dort geschrieben haben, annehmen. Dann schreiben Sie ein Gleichungssystem, das besagt, dass die Koordinaten eine Linearkombination der Normalmoden sind. Indem Sie diesen Satz von Gleichungen zu einem bestimmten Zeitpunkt auswerten und mit einem Satz von Anfangsbedingungen gleichsetzen, können Sie die Amplitude jeder normalen Mode auflösen. Hier ist ein vollständig ausgearbeitetes Beispiel .

Oft reicht es aus, die normalen Frequenzen zu kennen, um Eigenschaften wie das Absorptionsspektrum eines Moleküls vorherzusagen.

* Ihre Gleichung hat diese Form:$\frac{d^2\vec x}{dt^2}=A\vec x$. Indem Sie die symmetrische Matrix A diagonalisieren, können Sie sie als Diagonalmatrix schreiben$D$auf anderer Grundlage:$A=CDC^T$($C$ist die Matrix, die Koordinaten in der neuen Basis nimmt und Ihnen Positionen in der alten gibt). Multiplikation der ursprünglichen Gleichung mit$C^T$auf der linken Seite und verwenden$C^TC=\mathbb I$, du erhältst$\frac{d^2}{dt^2}C^T\vec x=DC^T\vec x$. Berufung$\vec y=C^T\vec x$den Normalkoordinaten haben Sie nun einen Satz entkoppelter Differentialgleichungen:$\frac{d^2y_n}{dt^2}=D_ny_n$. Ihre Lösung ist$y_n=A_n\sin(\omega_nt+\phi_n)$, mit$\omega_n=\sqrt{-D_n}$.

Während dies beweist, dass Sie eine Basis für normale Modi haben, gehen Sie nicht jedes Mal durch diese ganze Prozedur. Normalerweise schlagen Sie nur Lösungen im Normalmodus vor.