Interpretation der Normalmoden aus der mathematischen Formel

Sie sollten beachten, dass die andere Normalkoordinate implizit auf Null fixiert ist, während Sie die Bewegung entlang der Normalkoordinate betrachten$n_1$.

Die normalen Koordinaten zweier Teilchen (oder Blöcke in diesem Fall) können im Allgemeinen geschrieben werden als

$$\begin{align} n_1 =& a_{11} x_1 + a_{12} x_2, \\ n_2 =& a_{21} x_1 + a_{22} x_2.\label{eq: n1n2}\tag{1} \end{align}$$ In Ihrem speziellen Fall$a_{11}=1/2$Und$a_{12} =1/2$. Ich habe nicht gerechnet$a_{21}$Und$a_{22}$, aber Sie sollten dies gemäß der Definition der normalen Modi tun können.

Der obige Satz von Gleichungen kann gelöst werden$x_1$Und$x_2$in Form von

$$\begin{align} x_1 =& b_{11} n_1 + b_{12} n_2, \\ x_2 =& b_{21} n_1 + b_{22} n_2, \label{eq: x1x2}\tag{2} \end{align}$$ Wo$b_{ij}$werden bestimmt durch$a_{ij}$. Tatsächlich können Sie dies bestätigen, indem Sie die obigen Gleichungssätze durch Matrizen und Vektoren schreiben $$\begin{equation} \begin{pmatrix} b_{11} & b_{12} \\ b_{21} & b_{22} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{pmatrix} ^{-1}, \end{equation}$$ Wo$A^{-1}$bedeutet die inverse Matrix einer Matrix$A$.

Der erste Satz von Gleichungen ($\ref{eq: n1n2}$) geben die Koordinatentransformation aus den Koordinaten an$(x_1,x_2)$das war praktisch für Ihre Messung und andere Operationen zu den normalen Koordinaten$(n_1,n_2)$das ist praktisch für die Berechnung und eine Art von Interpretation, die mit der Berechnung verbunden ist. Der zweite Satz ($\ref{eq: x1x2}$) ergibt die Rücktransformation. Das heißt, sobald Sie die Zeitentwicklung berechnet haben$n_1(t)$Und$n_2(t)$individuell durch Lösen der Differentialgleichungen können Sie die Bewegung vorhersagen$x_1(t)$Und$x_2(t)$der jeweiligen Teilchen durch ($\ref{eq: x1x2}$).

Die Differentialgleichungen für die Normalkoordinaten lauten

$$\begin{equation} \frac{d^2 n_i}{dt^2} = -\omega_i^2 n_i(t), \end{equation}$$ für$i=1,2$, Wo$\omega_i^2$konstant sind, solange die auf den Block wirkende Kraft$l$ist von der Form$F_l = - \sum_j c_{lj} x_j$mit einigen Konstanten$c_{lj}$wie bei deinem Problem. Die Funktion,$n_2(t) = 0$für alle$t$, ist eine gültige Lösung dieser Gleichung für die Anfangsbedingung,$n_2(0) =0$Und$[dn_2/dt](0) =0$. Angenommen, diese Bedingung ist erfüllt durch ( $\ref{eq: n1n2}$) durch bestimmte Werte von$x_j(0)$Und$[dx_j/dt](0)$($j=1,2$), die durch Auflegen der Hände auf das Feder-Masse-System vorbereitet werden$t=0$. Diese$x_j(0)$Und$[dx_j/dt](0)$($j=1,2$) bestimmen auch die Anfangswerte von$n_1(0)$Und$[dn_1/dt](0)$, und geben daher eine bestimmte Lösung an$n_1(t)$der obigen Differentialgleichung. Mit diesem$n_1(t)$Und$n_2(t) =0$, durch ( $\ref{eq: x1x2}$), wird die Bewegung der Blöcke als gesehen $$\begin{align} x_1(t) =& b_{11} n_1(t), \\ x_2(t) =& b_{21} n_1(t). \end{align}$$ Wenn$b_{11} =b_{21}$, Dann$x_1(t) =x_2(t)$, dh die Bewegung der beiden Blöcke ist gleich. Das müsste man eigentlich sehen können$b_{11} = b_{21}$für Ihr System.

I) Bewegungsgleichungen

Kinetische Energie :

$$T=\frac{m}{2}\left(\dot{x}^2_1+\dot{x}_2^2\right)$$

Potenzielle Energie

$$U=\frac{k}{2}\left(x_1^2+(x_2-x_1)^2+x_2^2\right)$$

Mit Euler Langrage erhalten Sie:

$${\ddot x}_{{1}}+{\frac {2\,kx_{{1}}-kx_{{2}}}{m}}=0\tag 1$$

$${\ddot x}_{{2}}+{\frac {2\,kx_{{2}}-kx_{{1}}}{m}}=0\tag 2$$

II) Bewegungsgleichungen: Normalmodus

Im Normalraum lauten die Bewegungsgleichungen:

$$\ddot n_1+\omega_1^2\,n_1=0\tag 3$$ $$\ddot n_2+\omega_2^2\,n_2=0\tag 4$$

Um die Gleichungen (3) und (4) zu erhalten, müssen wir die Koordinaten transformieren$~x_1~,x_2$Zu$~n_1~,n_2$

Dies kann mit diesen Gleichungen durchgeführt werden

$$n_1=\frac 12(x_1+x_2)$$ $$n_2=\frac 12(x_1-x_2)$$ $\Rightarrow~$ $$x_1=n_1+n_2$$ $$x_2=n_1-n_2$$

Mit dieser Transformation erhalten Sie:

$$\ddot n_1+\frac km\,n_1=0\tag 5$$ $$\ddot n_2+\frac{3\,k}{m}\,n_2=0\tag 6$$

Anmerkung:

Sie erhalten die gleiche Ergebnisgleichung$(~5~,6~)$Wenn Sie diese Transformation erhalten:

die Schwerpunktskoordinate für n_1:

$$n_1=\frac{m\,(x_1+x_2)}{2\,m}=\frac 12(x_1+x_2)$$ Und $$n_2=\frac 12(x_1-x_2)$$