Was sind die Schwingungsmodi einer schwingenden Feder?

Ich betrachte das Problem eines gekoppelten Oszillators, wobei wir 3 Federn haben, die zwischen zwei Wänden folgendermaßen verbunden sind: Wand, dann Feder (k), dann Masse (m), dann Feder (2k), dann Masse (m) , dann Feder (k), dann Wand.

Ich habe die charakteristischen Frequenzen (glaube ich) berechnet, indem ich die Tatsache verwendet habe, dass wir haben werden

M D 2 X D T 2 = − k X + 2 k ( j − X ) = − 3 k X + 2 k j
Und
M D 2 j D T 2 = − k j − 2 k ( j − X ) = − 3 k j + 2 k X .

Damit haben wir ein neues Koordinatensystem

M ( X ¨ Y ¨ ) = k ( − 3 − 2 2 − 3 ) ( X j ) .

Wenn ich die Matrix im vorherigen Ausdruck auswerte, erhalte ich Eigenwerte μ 1 = − 5 Und μ 2 = − 1 . Die Einheits-Eigenvektoren werden sein

e ^ 1 = 1 2 ( 1 1 )
Und
e ^ 2 = 1 2 ( 1 − 1 ) .

Also im neuen Koordinatensystem habe ich

( X ¨ Y ¨ ) = k M ( μ 1 0 0 μ 2 ) ( X Y ) .
Dies impliziert das
X ¨ = − 5 k M X
Und
Y ¨ = − k M Y .

Durch Lösen dieser Gleichungen erhalten wir

X = A S ich N ( ω 1 T + a )
Und
Y = B S ich N ( ω 2 T + β ) ,
Wo ω 1 = 5 k M Und ω 2 = k M .

Jetzt muss ich die charakteristische Frequenz und den Schwingungsmodus finden. (Bitte keine Antworten geben, da dies eine Hausaufgabe ist, die ich gerne selbst lösen möchte.)

Q1 . Gehe ich richtig in der Annahme, dass die charakteristische Frequenz einfach ist F = ω / 2 π , oder verstehe ich die Eigenfrequenz falsch?

Q2 . Was ist der Schwingungsmodus? Ich verstehe, was das für eine Longitudinalwelle ist, die zwischen zwei festen Punkten oszilliert, aber ich denke, dieses System ist ein Quersystem, und ich habe Mühe, mir vorzustellen, was die Schwingungsmodi sein könnten.

Kann bitte jemand überprüfen, ob mein Verständnis der charakteristischen Frequenz richtig ist, und wenn nicht, könnten Sie erklären, was es ist. Kann jemand auch erklären, was der Schwingungsmodus in einem transversalen System wie diesem ist?

Zu Ihrer Information, in Ihrem Latex müssen Sie der "Sünde" mit "\" entkommen, damit es richtig aussieht.
Danke, aber du bist etwa ein halbes Jahr zu spät, hast das vor nicht allzu langer Zeit gemerkt ;)

Antworten (1)

Das System zweier gekoppelter Differentialgleichungen wird durch seine Eigenwerte und seine Eigenvektoren charakterisiert. Sie haben diese gefunden. Kommen wir nun zurück zum physischen Teil der Aufgabe.

Die Eigenwerte sind Frequenzen zweier normaler Schwingungsmoden. Nun, es kann verschiedene Konventionen geben, und man kann Häufigkeit als definieren ω oder ω 2 π , aber meiner Meinung nach ω Wird besorgt.

Die Schwingungsmoden haben mit den Eigenvektoren zu tun. Die zweite Frage kann umformuliert werden als "Wenn das System in einem seiner normalen Modi schwingt, wie genau bewegen sich die beiden Massen (im ursprünglichen Koordinatensystem)?". Oder mit anderen Worten: "Was ist die Bewegung, die von jedem der Eigenvektoren beschrieben wird?".

Hoffe das gibt dir genug Hinweise.

OK danke. Mit meinem Eigenvektor (1,1) bewegen sich die beiden Massen also beide nach rechts und dann beide nach links und so weiter (in SHM?). Mit meinem Eigenvektor (1,-1) wird die mittlere Feder komprimiert, dann gedehnt, dann komprimiert und so weiter. Macht diese Deutung Sinn?
@OllyPrice, ja, genau das passiert.
Was sind die Schwingungsmodi einer schwingenden Feder?
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