Gekoppelte Differentialgleichungen: Wie schreibt man in Bezug auf nur eine Koordinate? [geschlossen]

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Gekoppelte Differentialgleichungen: Wie schreibt man in Bezug auf nur eine Koordinate? [geschlossen]

Frühling
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Palme

Ich habe ein Masse-Feder-System, das wie folgt aussieht:

Ich habe die Gleichungen hergeleitet, die sind:

\begin{aligned} M_{1} \frac{D^{2} X_{1}}{D T^{2}} & = M_{1} G + k_{2} (X_{2} - X_{1} - L_{2}) - k_{1} (X_{1} - L_{1}) \\ M_{2} \frac{D^{2} X_{2}}{D T^{2}} & = M_{2} G - k_{2} (X_{2} - X_{1} - L_{2}) \end{aligned}

$\begin{align} M_1 \frac{d^2x_1}{dt^2} &= M_1g + k_2(x_2 - x_1 - L_2) - k_1(x_1-L_1)\\ % M_2 \frac{d^2x_2}{dt^2} &= M_2g - k_2(x_2 - x_1 - L_2) \end{align}$

Sie bitten mich jedoch, einen Ausdruck für zu finden $x_2$ als Funktion von $x_1$ . Ich kann mir keine Möglichkeit vorstellen, dies zu tun. Es scheint, dass mir etwas fehlt, wie kann ich auf einen solchen Ausdruck kommen?

BEARBEITEN:

Das haben sie nur gesagt $x_1(0) = 1$ Und $x_2(0) = 2$ , alle Parameter sind gleich 1 und der Anfangsimpuls ist 0, also gehe ich davon aus, dass das System aus der Ruhe entlassen wird.

Floris

Ein System wie dieses wird zwei "normale Modi" haben: in einem Modus,

m_{1}

$m_1$ Und

m_{2}

$m_2$ bewegen sich in die gleiche Richtung; im anderen Modus bewegt sich einer nach oben, der andere nach unten. Für willkürliche Startbedingungen ist die Bewegung eine lineare Kombination der beiden. Ohne die Ausgangsbedingungen zu kennen, ist es nicht möglich, das zu tun, was Sie verlangen. Wurde das System "aus der Ruhe entlassen" oder so?

Palme

Ups Ich habe bearbeitet, sie sagten nur, dass

x_{1} (0) = 1

$x_1(0) = 1$ Und

x_{2} (0) = 2

$x_2(0) = 2$ , alle Parameter sind gleich 1 und der Anfangsimpuls ist 0, also gehe ich davon aus, dass das System aus der Ruhe entlassen wird.

Floris

Sind die Federn in dem Moment entspannt, in dem die Massen losgelassen werden? Sehen Sie, ob Sie die Frequenz der beiden normalen Modi dieses Systems finden können. Siehe zum Beispiel diese Reihe von Notizen . Wenn Sie die Bewegung in einfachen (harmonischen) Basisfunktionen ausdrücken, sollten Sie dies lösen können.

Benutzer93237

Es gibt einen Standardtrick, um gekoppelte lineare Differentialgleichungen wie diesen zu lösen. Nehmen Sie an, dass die Lösungen die Form x1=x1o Exp(iwt) und x2=x2o Exp(iwt) haben. Die beiden Differentialgleichungen lassen sich dann auf eine Matrixgleichung mit dem Vektor {x1o,x2o} zurückführen.

Palme

Soll ich also Superposition anwenden und einen Ausdruck finden? Ich sehe jedoch nicht, wie das Lösen der tatsächlichen Gleichung mir helfen könnte, den erforderlichen Ausdruck zu finden. Eine weitere wichtige Info: Es ist erlaubt, einige numerische Werkzeuge zu verwenden, um dies zu lösen (wie Oktave). Ich brauche jedoch den Ausdruck, habe versucht, die Laplace-Transformation zu verwenden, aber es war nutzlos ...

Daniel Sank

Sind Sie sicher, dass Sie nach lösen möchten

x_{2}

$x_2$ als Funktion von

x_{1}

$x_1$ ? @Floris, verstehst du den Wert, Zeit zu eliminieren, um eine Koordinate in Bezug auf die andere zu erhalten? Ist dies überhaupt möglich, da eine solche Funktion im Allgemeinen nicht einwertig ist?

Palme

Ja, darum werde ich gebeten. Ich gebe schon auf, komme nicht auf einen solchen Ausdruck, ich habe viele verschiedene Ansätze ausprobiert.

Floris

@DanielSank Es ist keine allgemeine Lösung, nach der wir suchen - es ist eine spezifische Lösung, nämlich der Modus "In Phase" (unter Berücksichtigung der Anfangsbedingungen). Das macht es durchaus möglich. Der "Wert" ist nur das "Hey, das funktioniert!" Moment, der folgen wird ...

Antworten (1)

Gekoppelte Differentialgleichungen: Wie schreibt man in Bezug auf nur eine Koordinate? [geschlossen]

Ein System wie dieses wird zwei "normale Modi" haben: in einem Modus, $m_1$ Und $m_2$ bewegen sich in die gleiche Richtung; im anderen Modus bewegt sich einer nach oben, der andere nach unten. Für willkürliche Startbedingungen ist die Bewegung eine lineare Kombination der beiden. Ohne die Ausgangsbedingungen zu kennen, ist es nicht möglich, das zu tun, was Sie verlangen. Wurde das System "aus der Ruhe entlassen" oder so?
Ups Ich habe bearbeitet, sie sagten nur, dass $x_1(0) = 1$ Und $x_2(0) = 2$ , alle Parameter sind gleich 1 und der Anfangsimpuls ist 0, also gehe ich davon aus, dass das System aus der Ruhe entlassen wird.
Sind die Federn in dem Moment entspannt, in dem die Massen losgelassen werden? Sehen Sie, ob Sie die Frequenz der beiden normalen Modi dieses Systems finden können. Siehe zum Beispiel diese Reihe von Notizen . Wenn Sie die Bewegung in einfachen (harmonischen) Basisfunktionen ausdrücken, sollten Sie dies lösen können.
Es gibt einen Standardtrick, um gekoppelte lineare Differentialgleichungen wie diesen zu lösen. Nehmen Sie an, dass die Lösungen die Form x1=x1o Exp(iwt) und x2=x2o Exp(iwt) haben. Die beiden Differentialgleichungen lassen sich dann auf eine Matrixgleichung mit dem Vektor {x1o,x2o} zurückführen.
Soll ich also Superposition anwenden und einen Ausdruck finden? Ich sehe jedoch nicht, wie das Lösen der tatsächlichen Gleichung mir helfen könnte, den erforderlichen Ausdruck zu finden. Eine weitere wichtige Info: Es ist erlaubt, einige numerische Werkzeuge zu verwenden, um dies zu lösen (wie Oktave). Ich brauche jedoch den Ausdruck, habe versucht, die Laplace-Transformation zu verwenden, aber es war nutzlos ...
Sind Sie sicher, dass Sie nach lösen möchten $x_2$ als Funktion von $x_1$ ? @Floris, verstehst du den Wert, Zeit zu eliminieren, um eine Koordinate in Bezug auf die andere zu erhalten? Ist dies überhaupt möglich, da eine solche Funktion im Allgemeinen nicht einwertig ist?
Ja, darum werde ich gebeten. Ich gebe schon auf, komme nicht auf einen solchen Ausdruck, ich habe viele verschiedene Ansätze ausprobiert.
@DanielSank Es ist keine allgemeine Lösung, nach der wir suchen - es ist eine spezifische Lösung, nämlich der Modus "In Phase" (unter Berücksichtigung der Anfangsbedingungen). Das macht es durchaus möglich. Der "Wert" ist nur das "Hey, das funktioniert!" Moment, der folgen wird ...

Floris · Answer 1

Nach dem allgemeinen Ansatz in diesem Link können wir die Bewegungsgleichungen aufschreiben und nach den Normalmoden auflösen.

ich benutze $x_1$ Und $x_2$ als die Verschiebung aus dem Gleichgewicht , da nur wenige entfernt werden $m\cdot g$ , $-L_1$ Und $-L_2$ Bedingungen, ändert aber ansonsten das Ergebnis nicht grundlegend. Sie können diesen Ansatz dann anpassen, um Ihr genaues Problem zu lösen.

Die Bewegungsgleichungen werden zu:

\begin{matrix} (1) & M_{1} {\ddot{X}}_{1} = - k_{1} X_{1} + k_{2} (X_{2} - X_{1}) \end{matrix}

$m_1 \ddot x_1 = -k_1 x_1 + k_2(x_2 - x_1)\tag1$

\begin{matrix} (2) & M_{2} {\ddot{X}}_{2} = - k_{2} (X_{2} - X_{1}) \end{matrix}

$m_2 \ddot x_2 = -k_2(x_2 - x_1)\tag2$

Wenn wir davon ausgehen, dass es eine Lösung gibt, hat sie die Form:

\begin{matrix} (3) & X_{1} = A_{1} \cos (ω T) \end{matrix}

$x_1 = a_1 \cos(\omega t)\tag3$

\begin{matrix} (4) & X_{2} = A_{2} \cos (ω T) \end{matrix}

$x_2 = a_2 \cos(\omega t)\tag4$

Wo $a_1$ Und $a_2$ komplex sein könnte (dies würde eine willkürliche Phasendifferenz zwischen der Bewegung der beiden Massen ermöglichen), dann können wir die Beziehung zwischen finden $\omega$ , $a_1$ Und $a_2$ :

- M_{1} ω^{2} A_{1} \cos ω T = - k_{1} A_{1} \cos ω T + k_{2} (A_{2} - A_{1}) \cos ω T - M_{2} ω^{2} A_{2} \cos ω T = - k_{2} (A_{2} - A_{1}) \cos ω T

$- m_1 \omega^2 a_1 \cos\omega t = -k_1 a_1 \cos\omega t + k_2(a_2 - a_1)\cos\omega t\\ -m_2 \omega^2a_2 \cos\omega t = -k_2(a_2-a_1)\cos\omega t$

Aufteilen $\cos\omega t$ und Umordnen erhalten wir zwei Gleichungen für $a_1$ Und $a_2$ :

\begin{aligned} (5) & (- M_{1} ω^{2} + k_{1} + k_{2}) A_{1} - k_{2} A_{2} & = 0 \\ (6) & k_{2} A_{1} + (M_{2} ω^{2} - k_{2}) A_{2} & = 0 \end{aligned}

$\begin{align}\left(-m_1\omega^2 +k_1+k_2\right) a_1 -k_2 a_2 &= 0\tag5\\ k_2 a_1 + \left(m_2 \omega^2 - k_2\right)a_2&= 0 \tag6 \end{align}$

Da für diese Gleichungen die rechte Seite Null ist, ist die einzige nichttriviale Lösung, wenn die Determinante auf der linken Seite Null ist, oder

(- M_{1} ω^{2} + k_{1} + k_{2}) (M_{2} ω^{2} - k_{2}) + k_{2}^{2} = 0

$\left(-m_1\omega^2 +k_1+k_2\right) \left(m_2 \omega^2 - k_2\right)+k_2^2 = 0$

Putten $\omega^2 = \Omega$ , können wir lösen:

- M_{1} M_{2} Ω^{2} + (M_{1} k_{2} + M_{2} (k_{1} + k_{2})) Ω - k_{1} k_{2} = 0

$-m_1 m_2 \Omega^2 + (m_1 k_2 + m_2 (k_1+k_2)) \Omega - k_1 k_2 = 0$

Dies hinterlässt uns einen unordentlichen Ausdruck für $\Omega = \omega^2$ .

Und dann wird es interessant.

Aus der "angenommenen Lösung" (3) und (4) folgt das unmittelbar

\frac{X_{1}}{X_{2}} = \frac{A_{1}}{A_{2}}

$\frac{x_1}{x_2} = \frac{a_1}{a_2}$

Und wir können das Verhältnis der Amplituden entweder aus Gleichung (5) oder (6) finden, indem wir unsere Lösung für einsetzen $\omega^2$ :

\frac{A_{1}}{A_{2}} = \frac{k_{2}}{- M_{1} ω^{2} + k_{1} + k_{2}}

$\frac{a_1}{a_2} = \frac{k_2}{-m_1\omega^2 +k_1+k_2}$

Ich überlasse es Ihnen, meine Mathematik zu überprüfen und die Lösung fertigzustellen. Vielleicht möchten Sie sicherstellen, dass die Lösung für einen einfachen Fall sinnvoll ist (wie - was soll wann passieren $m_1=0$ Und $k_1 = k_2$ ?)

Das macht Sinn, eine letzte Frage. Das ist die Lösung des homogenen Differentialgleichung? Um die Auswirkungen der Schwerkraft hinzuzufügen, muss ich den konstanten Term hinzufügen, richtig?
Ja, Sie müssten einen konstanten Term hinzufügen - aber das würde nur einen Offset zur Gleichgewichtsposition erzeugen. Durch Definieren $x_1$ wie die Verschiebung aus dem Gleichgewicht umgehe ich die Notwendigkeit einzubeziehen $g$ . Jedenfalls wollte ich Ihnen nur einen Anfang geben... nicht die ganze Arbeit für Sie erledigen. Beachten Sie, dass das Verhältnis je nach Wert von unterschiedlich ist $\omega$ - das hängt davon ab, welchen Modus Sie betrachten ...
Das mit g habe ich nicht verstanden. Wenn Sie definieren $x_1$ als Verschiebung aus dem Gleichgewicht würden wir L los, mit: $m_1\ddot{x_1} = m_1g + k_2(x_2 - x_1) - k_1x_1$ mg ist da und ist die Zwangsfunktion. Wie auch immer, ich habe eine Idee zur Lösung meines Problems, danke für Ihre Geduld. Antwort akzeptiert.

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