Über einen Flaschenzug, ein Seil, vier Massen und zwei Federn: lösbar oder nicht?

Stellen Sie sich einen Flaschenzug mit einem masselosen und reibungsfreien Seil vor. Auf beiden Seiten der Rolle (und beiden Seiten des Seils) befestigen wir eine Masse ($m_1$Und$m_2$). Diese Massen sind mit zwei anderen Massen verbunden ($m_3$ein$m_4$) durch zwei ideale Federn (Federkonstanten$k_1$Und$k_2$). Das Seil hat eine Masse von s (kg/m).

Wir halten die beiden oberen Massen auf gleicher Höhe und lassen das System dann laufen. Wie müssen wir das System mathematisch modellieren?

Für zwei einzelne Massen an jedem Ende ist die Situation einfach. Die schwerere Masse erhält eine Beschleunigung von$g-a$, die leichtere Masse$g+a$und es ist einfach zu berechnen$a$, wenn die Massen bekannt sind. Aber was passiert in diesem (Nicht-Gleichgewichts-)Fall? Kann es sein, dass es sich um ein unlösbares Vierkörperproblem handelt?

Sicherlich gibt es vier Körper (die vier Massen). Dies ist jedoch kein Vierkörperproblem, da sich die Massen nicht im Kraftfeld des anderen bewegen. Zwei Massenpaare sind durch eine Schnur verbunden und beide Paare werden der Schwerkraft ausgesetzt.

Nach einigem Nachdenken ist das Problem einfacher als ich dachte. Für die Beschleunigung a lösen wir für beide Massensätze nach dem Loslassen folgende Formel (if$(m_1+m_2)>(m_2+m_4)$):

$(m_1+m_2)(g-a)=(m_3+m_4)(g+a)$

Nach dem Einstellen$g=10$und etwas Umordnung erhalten wir:

$a=\frac{10(M-m)} {(M+m)}$, Wo$M=m_1+m_2$, Und$m=m_3+m_4$

Also die beiden federverbundenen Massen

Wenn Sie a kennen, können Sie leicht feststellen, um wie viel sich die Federn verlängert oder verkürzt haben.

Was aber, wenn wir die (gleich) sich ändernde Masse auf beiden Seiten der Rolle aufgrund der Masse des Seils berücksichtigen?