Normalschwingungen des 3-Massen-Feder-Systems

Diese Frage mag naiv erscheinen, aber ich bin kein Physikstudent und bin hier verwirrt.

Auf der Ebene befinden sich drei Massen, die die 3 Eckpunkte eines gleichseitigen Dreiecks bilden. Jeweils zwei davon sind durch eine Feder mit Federkonstante verbunden k . Es ist bekannt, dass dieses System 6 normale Modi hat:

  1. Translation in der x- oder y-Achse. Diese beiden bilden eine 2D-Irre-Rep von D 3 aber mit einer Nullfrequenz von v
  2. eine reine Drehung. Dies entspricht dem Zeichen rep von D 3 .
  3. Atemmodus. Dies ist der Identitätsvertreter von D 3 .
  4. Pumpmodus. (dies hat zwei) Diese beiden entsprechen dem 2. irre-rep von D 3 aber mit einer Nicht-Null-Frequenz von v .

Meine Frage kam auf, als ich mir den Rotationsmodus ansah: Wie sieht dieser Modus aus? Ich dachte, es ist wie folgt:

Es gibt keine Rückstellkräfte in den Federn: Das ist leicht zu sehen, aber wie können sich die Massen entlang des Kreises bewegen, ohne dass Kräfte sie halten? (damit sie nicht von den Zentrifugalkräften weggedrückt werden?)

Antworten (3)

Die Massen, die sich im Kreis bewegen, müssen eine Nettokraft haben, die zum Zentrum hin zieht. Die Kraft ergibt sich aus der Vektorsumme der beiden Federn, an denen jede Masse befestigt ist. Die Kraftkomponenten tangential zur Kreisbahn heben sich auf, aber die Komponenten in radialer Richtung addieren sich und zeigen nach innen. Dazu müssen sich die Federn etwas dehnen.

Dies ist wie eine Kombination aus Rotationsmodus und Atmungsmodus. Die zu beantwortende Frage lautet: "Sind die Normalmodi eine mathematische Zerlegung oder ist es möglich, jeden Normalmodus physikalisch zu realisieren?" Ihre Frage hebt hervor, dass der Rotationsmodus selbst nicht ohne einen Beitrag des Atmungsmodus auftreten kann.

@LaserMatter: Danke für deine Antwort. Der Rotationsmodus ist also nur ein mathematisch abgeleiteter Modus und kann in der realen Welt nicht perfekt realisiert werden?
@LaserMatter Bei weiterer Betrachtung Ihrer sehr guten Antwort denke ich, dass im Rotationsmodus die gedehnten Federn "eingebaut" sind, sodass er physikalisch realisierbar ist. Was physikalisch nicht realisierbar ist, ist eine Rotation mit ungedehnten Federn?
@ Farcher Ja, ich stimme zu. Der Atmungsmodus ist eine Oszillation. Also lag ich falsch. Vielleicht passiert das, wenn ich spät abends Fragen beantworte. Aber die Tatsache, dass sich die Feder dehnt, um die erforderliche Zentripetalkraft bereitzustellen, ist immer noch wahr.

Es gibt keine Rückstellkräfte in den Federn: das ist leicht zu erkennen, ......

Ich glaube nicht, dass diese Aussage richtig ist.
Der Rotationsmodus hat gedehnte Federn, aber die Massen vibrieren nicht, während der Atmungs- und zwei Klatschmodus die Massen um den Massenmittelpunkt vibrieren lassen. Es sind diese gespannten Federn, die die Zentripetalkräfte auf jede der Massen liefern, die es den Massen ermöglichen, sich um ihren gemeinsamen Massenmittelpunkt zu drehen.

Ich weiss. Mir ist gerade klar geworden, dass der Rotationsmodus ein mathematischer Modus ist und es in der realen Welt keinen reinen Rotationsmodus geben kann ...
@Zhao_L, das ist der richtige Weg, darüber nachzudenken, auch wenn Ihre Schlussfolgerung falsch ist. Der übliche mathematische Begriff der „Normalschwingungen“ bezieht sich auf infinitesimal kleine Verschiebungen aus dem Ausgangszustand – also eine sehr kleine Bewegung entlang der Tangentenvektoren an den Kreis durch die drei Massen. Aber das wirkliche Leben kümmert sich nicht um die mathematischen Näherungen, die verwendet werden, um ein lineares Modell kleiner Verschiebungen zu erstellen, und im wirklichen Leben kann sich die Struktur frei mit konstanter Winkelgeschwindigkeit für jeden beliebig großen Winkel drehen.
@alephzero Danke! Also streng genommen sind alle Moden Kombinationen der normalen Moden nur in einer verschwindend kleinen Umgebung des ausgeglichenen Zustands und das globale Bild, das im animierten GIF gezeigt wird, ist tatsächlich mathematisch falsch?

Die Rotation beinhaltet zentripetale Kräfte, denen durch Kombination der Spannung in den Federn entgegengewirkt werden muss.

Es gibt viele andere Vibrationsmodi und ihre Harmonischen für dieses System.

1- zwei der Massen können vertikal entlang der y-Achse auseinander gehalten werden und die dritte Masse kann entlang der x-Achse gezogen und losgelassen werden. Das System würde durch die 3. Masse vibrieren, die entlang der x-Achse hin und her geht, und die 2 Massen können entlang der y-Achse auf und ab vibrieren, vorausgesetzt, die Verschiebungen sind gering und es kommt zu keiner Kollision.

2- Gleiche Konfiguration, außer dass diesmal die dritte Masse nach rechts und oben gezogen wird, sagen wir um ein Zehntel der Federlänge, und dann losgelassen wird. Diesmal werden die Massen in 3 kleinen Kreisen vibrieren, die einen Durchmesser von (ungefähr) 2/3 Zehntel der Federlänge haben, während das Lochsystem sanft flattert und sich um einen zufällig runden Mittelpunkt dreht.
Indem wir die x- und y-Auslenkung der dritten Masse ändern, können wir das System in einige komplexe Schwingungsmodi zwingen.

3- Durch Versuch und Irrtum können wir den Anzugpunkt finden, an dem das System, wenn wir die Massen stören, viele Vibrationsmodi durchläuft und um die Eigenfrequenz jedes Modus herum schwingt und dann in einen anderen Modus übergeht. Ähnlich wie der Tanz eines Haufens Fliegen um eine Kerze.

Aber sind diese anderen Modi nicht nur lineare Kombinationen der sechs von @LaserMatter zitierten Modi?
Ich denke nicht. Modi, die ich vorschlage, haben keine Symmetrie mit einer Achse oder sogar Polarsymmetrie. Wie im Beispiel, das ich gegeben habe, indem ich die dritte Masse zu x + 1, y + 1 bewegt habe, wird die Rückstellkraft zunächst die Federkraft zwischen Masse 3 und 2 als Spannung und Masse 1 und 3 als Kompression sein, aber allmählich die Trägheit von J der Rotation der Massenachsen 1 und 2 tragen zur Rückstellkraft bei. Andererseits ändert sich dieses J aufgrund der Abstandsänderung zwischen Masse eins und Masse 2. Dadurch wird die Wirkung der Anfangskräfte verringert. Dadurch wird das System neue Phasen von Schwingungskonfigurationen durchlaufen!
Normalschwingungen des 3-Massen-Feder-Systems
AntwortenHierDatenschutz-Bestimmungen1y, 0v