Nichtlineare Feder F=−kx3F=−kx3F=-kx^3

Question

Nichtlineare Feder F=−kx3F=−kx3F=-kx^3

Frühling
Physik
nichtlineare Systeme
Newtonsche Mechanik
anharmonische Oszillatoren
Hausaufgaben und Übungen

Ahmed S. Attaalla

Eine nichtlineare Feder, deren Rückstellkraft gegeben ist durch $F=-kx^3$ wo $x$ die Verschiebung aus dem Gleichgewicht ist, wird um eine Strecke gedehnt $A$ . An seinem Ende ist eine Masse befestigt $m$ . Berechnen Sie ... (das kann ich) ... angenommen, die Amplitude der Schwingung wird erhöht, was passiert mit der Periode?

Folgendes denke ich: Wenn die Amplitude erhöht wird, besitzt die Feder mehr Gesamtenergie, im Gleichgewicht bewegt sich die Feder schneller als zuvor, weil sie mehr kinetische Energie besitzt. Ich denke, im Frühjahr bewegt es sich schneller, wenn es eine ähnliche Verschiebung vom Gleichgewicht hat, aber es muss eine größere Strecke zurücklegen, daher kann ich nichts schließen.

Ich dachte an die Lösung,

M X^{″} = - k X^{3}

$mx''=-kx^3$

Aber erkannte, dass dies ein sehr harter Job ist.

Irgendwelche Ideen?

alephnull

"Hier ist, was ich denke ... also kann ich nichts daraus schließen." Ja, du kannst! Denken Sie zuerst an eine einfache harmonische Bewegung, wo

F = - k x

$F = -kx$ und die Periode ist unabhängig von der Amplitude. Schreiben Sie nun die Gleichung für Ihre Feder als

F = - k^{'} x

$F =-k'x$ wo

k^{'} = k x^{2}

$k' = kx^2$ . Die durchschnittliche Steifigkeit der nichtlinearen Feder über jeden Bewegungszyklus nimmt mit der Amplitude zu, sodass die Periode kürzer wird.

Antworten (2)

Nichtlineare Feder F=−kx3F=−kx3F=-kx^3

"Hier ist, was ich denke ... also kann ich nichts daraus schließen." Ja, du kannst! Denken Sie zuerst an eine einfache harmonische Bewegung, wo $F = -kx$ und die Periode ist unabhängig von der Amplitude. Schreiben Sie nun die Gleichung für Ihre Feder als $F =-k'x$ wo $k' = kx^2$ . Die durchschnittliche Steifigkeit der nichtlinearen Feder über jeden Bewegungszyklus nimmt mit der Amplitude zu, sodass die Periode kürzer wird.

Eric Winkel · Answer 1

Die potentielle Energie ist $U\left(x\right) = kx^4/4$ seit $-d/dx\left(kx^4/4\right) = -kx^3 = F$ , und die Energie

E = \frac{1}{2} M {(\frac{D X}{D T})}^{2} + \frac{1}{4} k X^{4}

$E = \frac{1}{2}m\left(\frac{dx}{dt}\right)^2 + \frac{1}{4}kx^4$ wird konserviert.

Aus dem Obigen können Sie das zeigen

\begin{array}{rcl} d T & = & \pm d X \sqrt{\frac{M}{2 E}} {(1 - \frac{k}{4 E} X^{4})}^{- 1 / 2} \\ = & \pm d X \sqrt{\frac{2 M}{k}} A^{- 2} {[1 - {(\frac{X}{EIN})}^{4}]}^{- 1 / 2} \end{array}

$\begin{eqnarray} dt &=& \pm \ dx \sqrt{\frac{m}{2E}}\left(1-\frac{k}{4E}x^4\right)^{-1/2} \\ &=& \pm \ dx \sqrt{\frac{2m}{k}} \ A^{-2} \left[1-\left(\frac{x}{A}\right)^4\right]^{-1/2} \end{eqnarray}$ wo die Amplitude

A = {(4 E / k)}^{1 / 4}

$A = \left(4E / k\right)^{1/4}$ finden Sie unter Einstellung

d x / d t = 0

$dx/dt = 0$ im Ausdruck für die Energie und Lösung für

x

$x$ .

Die Periode ist dann

\begin{array}{rcl} T & = & 4 \sqrt{\frac{2 M}{k}} A^{- 2} \int_{0}^{A} d X {[1 - {(\frac{X}{EIN})}^{4}]}^{- 1 / 2} \\ = & 4 \sqrt{\frac{2 M}{k}} A^{- 1} \int_{0}^{1} d u {(1 - u^{4})}^{- 1 / 2} \\ = & (4 \sqrt{\frac{2 m}{k}} ich) A^{- 1} \\ \propto & A^{- 1} \end{array}

$\begin{eqnarray} T &=& 4 \sqrt{\frac{2m}{k}} \ A^{-2} \int_0^A dx \left[1-\left(\frac{x}{A}\right)^4\right]^{-1/2} \\ &=& 4 \sqrt{\frac{2m}{k}} \ A^{-1} \int_0^1 du \left(1-u^4\right)^{-1/2} \\ &=& \left(4 \sqrt{\frac{2m}{k}} I\right) A^{-1} \\ &\propto& A^{-1} \end{eqnarray}$ wo

u = x / A

$u = x/A$ Und

I = \int_{0}^{1} d u {(1 - u^{4})}^{- 1 / 2} \approx 1.31

$I = \int_0^1 du \left(1-u^4\right)^{-1/2} \approx 1.31$ (siehe dazu ).

Sie können das Obige für eine allgemeinere potentielle Energie wiederholen $U\left(x\right) = \alpha \left|x\right|^n$ , wo du das finden solltest

d T = \pm d X \sqrt{\frac{M}{2 a}} {EIN}^{- N / 2} {[1 - {(\frac{| X |}{A})}^{N}]}^{- 1 / 2}

$dt = \pm \ dx \sqrt{\frac{m}{2\alpha}} \ A^{-n/2} \left[1-\left(\frac{\left|x\right|}{A}\right)^n\right]^{-1/2}$

Und

\begin{array}{rcl} T_{N} & = & (4 \sqrt{\frac{M}{2 a}} {ich}_{N}) A^{1 - N / 2} \\ \propto & A^{1 - N / 2} \end{array}

$\begin{eqnarray} T_n &=& \left(4 \sqrt{\frac{m}{2\alpha}} I_n\right) A^{1-n/2} \\ &\propto& A^{1-n/2} \end{eqnarray}$

Wo

{ich}_{N} = \int_{0}^{1} d u {(1 - u^{N})}^{- 1 / 2}

$I_n = \int_0^1 du \left(1-u^n\right)^{-1/2}$

kann in Form von Gammafunktionen ausgewertet werden (siehe hier ).

Dies steht im Einklang mit dem oben Gesagten z $\alpha = k/4$ Und $n=4$ , und mit dem Mechanikproblem 2a von Landau und Lifshitz in Abschnitt 12 (Seite 27), wo sie das finden $T_n \propto E^{1/n-1/2} \propto A^{1-n/2}$ .

Nithin S · Answer 2

Sie können die Dimensionsanalyse verwenden, um die Beziehung zwischen Zeitdauer (T) und Amplitude zu erhalten. (A)

F = - k X^{3}

$F=-kx^3$

M L T^{- 2} = K L^{3}

$MLT^{-2} = K L^3$

Dies würde das implizieren $T^{-2}\propto L^2$ dh $TL=$ Konstante

$T$ ist umgekehrt proportional zu $L$

$L$ kann auch als Amplitude genommen werden.

Nichtlineare Feder F=−kx3F=−kx3F=-kx^3

Ahmed S. Attaalla

alephnull

Antworten (2)

Eric Winkel

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Nithin S

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