Konisches Pendelproblem, elastische Saite

Ich bin bei einer alten Klausur für einen Universitätskurs, in dem ich studiere, auf folgendes Problem gestoßen. Es handelt sich um ein konisches Pendel mit einer elastischen Schnur:

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Ich versuchte eine Lösung und bekam 10000 für meine Antwort, die aufgelistet war (a). Ich habe jedoch einige Fragen zur Lösung, nämlich, dass sie für mich physikalisch keinen Sinn ergibt. Hier erstmal meine Lösung:

Lassen θ sei der Winkel zwischen der Schnur und der Vertikalen. Dann T horizontal = T Sünde ⁡ θ . Der Ball beschreibt eine kreisförmige Bewegung mit Beschleunigung R ω 2 , daher

T Sünde ⁡ θ = M R ω 2 .

An der Geometrie können wir das sehen R = L Sünde ⁡ θ , L die Länge der Zeichenfolge ist. L = L 0 + T k , daher

T Sünde ⁡ θ = M ( L 0 + T k ) Sünde ⁡ θ ⋅ ω 2 .

Seit Sünde ⁡ θ ist nicht gleich 0 zwischen 0 Und π / 2 Rad ( 0  Zu  90 Ö ), können wir beide Seiten durch dividieren Sünde ⁡ θ ,

T = M ( L 0 + T k ) ω 2 .

Auflösen für T ,

T = M L 0 ω 2 + M ω 2 k T ⇒ T − M ω 2 k T = M L 0 ω 2 ⇒ T ( 1 − M ω 2 k ) = M L 0 ω 2 ⇒ T = M L 0 ω 2 1 − M ω 2 k

Das Ersetzen der Werte aus der Frage ergibt,

T = 0,5 ⋅ 1 ⋅ 100 2 1 − 0,5 ⋅ 100 2 10000 .

Obwohl dies eine aufgelistete Antwort ist, ergibt dies für mich keinen Sinn. Das suggeriert es

(a) Die Schwerkraft hat keine Wirkung.

(b) Wann ω ≈ 70.7 rad/s, die Spannung ist undefiniert. (Aufgrund der Division durch Null).

(c) Wann ω ist größer als ca 70.7 rad/s, die Spannung wird negativ.

Unten ist ein Diagramm der Gleichung (stark herausgezoomt) von desmos.com:

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Das ergibt für mich keinen physikalischen Sinn? Habe ich irgendwo einen Fehler gemacht? Wenn ja, warum ist das falsch und was ist die richtige Lösung? Wenn ich keinen Fehler gemacht habe, wie macht das dann physikalisch Sinn? Ist die Domäne von ω irgendwie begrenzt?

Antworten (2)

Die Interpretation von Gleichungen muss mit der physikalischen Realität übereinstimmen. Ihre Grafik zeigt Werte von T Und ω die sind -ve; ersteres ist nicht realisierbar, letzteres nicht sinnvoll.

Die Spannung in der Saite ist gegeben durch T cos ⁡ θ = M G . Die Mindestspannung ist M G Wenn θ = 0 und es wächst unendlich groß wie θ → 1 2 π .

Wenn die Saite eine Feder oder ein Stab wäre, könnte sie unter Druck stehen, was eine negative Spannung ist. Dies könnte realisiert werden, wenn die Masse über dem Aufhängepunkt rotiert. Bei zusammengedrückter Feder oder Stange kann jedoch keine Zentripetalkraft vorhanden sein, um die Masse in Kreisbewegung zu halten.

Deshalb T kann nicht negativ sein und θ kann nicht größer sein als 1 2 π .

Wenn Sie Ihre Gleichung umstellen, ist die Kreisfrequenz von Kreisschwingungen gegeben durch

ω 2 = T ( θ ) M L ( θ ) = G L 0 cos ⁡ θ + M G k

Der kleinstmögliche Wert von ω tritt auf bei θ ≈ 0 und ist G L 1 , was dasselbe ist wie für kleine Schwingungen eines einfachen Pendels der nicht rotierenden Länge L 1 = L 0 + M G k .

Der größtmögliche Wert von ω tritt für auf θ = 1 2 π und ist k M , was dasselbe ist wie für Schwingungen der elastischen Saite.

Also ja, der Wert von ω ist auf den Bereich beschränkt G L 1 ≤ ω ≤ k M .

Gute Antwort. Meine endgültige Antwort war also gültig, außer dass die Domain begrenzt ist?
Das hatte ich schon vermutet, zumal ω = v / R = v / L Sünde ⁡ θ , was bedeutete, dass noch eine versteckte Abhängigkeit von bestand θ , die eine begrenzte Domäne hat. Bedeutet die Antwort auch nicht, dass das Vorhandensein von Schwerkraft oder irgendwelchen Kräften, die entlang der Vertikalen wirken, keinen Einfluss auf den Ausdruck für hat T ( ω ) ?

Ich denke, die Schwerkraft wirkt sich denn hier aus T cos ⁡ ( θ ) = M G . Also haben wir θ = cos − 1 ⁡ ( M G T ) . Jetzt haben Sie darauf hingewiesen T = 10 4 N . Wir können auch den Neigungswinkel berechnen ( θ ), Einstecken des Werts von M = 0,5 kg und G = 10 M / S 2 als,

θ = cos − 1 ⁡ ( 0,5 × 10 10 4 ) = cos − 1 ⁡ ( 0,0005 ) ∼ 90 Ö
Damit ist die Winkelgeschwindigkeit gemeint ω ist überraschend hoch!!! Und ich denke, das wird eine enorme Spannung auf die Feder erzeugen, und das ist wahr ( T = 10 4 N, die erstellen 10 4 M / S 2 An 1 kg Masse!). Das Hookesche Gesetz gilt hier also nicht und man kann den Ausdruck für Endfederlänge nicht als verwenden L = L 0 + T k .

Ich glaube nicht, dass dies die Frage beantwortet. Die Winkelgeschwindigkeit wird in der Frage als angegeben ( 100 R A D / S oder 70.7 R A D / S ) es ist also nicht überraschend hoch . Warum gilt das Hookesche Gesetz nicht? Die Frage sagt, dass es gültig ist. Sie können die Bedingungen der Frage nicht ändern.
Konisches Pendelproblem, elastische Saite
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