Zweigekoppelter Oszillator: Zweifel beim Finden von Normalmoden und Eigenfrequenz

Question

Zweigekoppelter Oszillator: Zweifel beim Finden von Normalmoden und Eigenfrequenz

Physik
Normal-Modi
gekoppelte Oszillatoren
harmonischer Oszillator
Newtonsche Mechanik

Soham

Ich möchte die Eigenfrequenz eines zweigekoppelten Oszillatorsystems wie folgt finden:

Mein Buch macht es so, aber ich verstehe es nicht wirklich.

Die Bewegungsgleichungen für die Pendel sind:

$ICH \frac{D^{2} θ_{1}}{D T^{2}} = - M_{eff} G L Sünde θ_{1} - κ l^{2} (Sünde θ_{1} - Sünde θ_{2})$ $I\frac{d^2\theta_1}{dt^2}=−M_\text{eff}\ gL\sin \theta_1− \kappa l^2(\sin \theta_1−\sin \theta_2)$

$ICH \frac{D^{2} θ_{2}}{D T^{2}} = - M_{eff} G L Sünde θ_{2} + κ l^{2} (Sünde θ_{1} - Sünde θ_{2})$ $I\frac{d^2\theta_2}{dt^2}=−M_\text{eff}\ gL\sin \theta_2+ \kappa l^2(\sin \theta_1−\sin\theta_2)$

Um die Eigenfrequenzen des Systems zu finden, nehmen wir die Summe und Subtraktion der Gleichungen und wir erhalten (unter Verwendung der Kleinwinkelnäherung):

$ICH (\frac{D^{2} θ_{1}}{D T^{2}} + \frac{D^{2} θ_{2}}{D T^{2}}) = - M_{eff} G L (θ_{1} + θ_{2})$ $I\left(\frac{d^2\theta_1}{dt^2}+\frac{d^2\theta_2}{dt^2}\right)=−M_\text{eff}\ gL(\theta_1+\theta_2)$

Und

$ICH (\frac{D^{2} θ_{1}}{D T^{2}} - \frac{D^{2} θ_{2}}{D T^{2}}) = - M_{eff} G L (θ_{1} - θ_{2}) - 2 κ l^{2} (θ_{1} - θ_{2})$ $I\left(\frac{d^2\theta_1}{dt^2}-\frac{d^2\theta_2}{dt^2}\right)=−M_\text{eff}\ gL(\theta_1−\theta_2)−2\kappa l^2(\theta_1−\theta_2)$

Die beiden obigen Gleichungen sind entkoppelt und repräsentieren die beiden Normalmoden des gekoppelten Systems. Der $\theta_1+\theta_2$ Modus oder '+'-Modus stellen die gleichphasige Bewegung des Pendels dar, wobei sich beide Pendel mit der gleichen Phase (gleiche Richtung) bewegen. Der $\theta_1−\theta_2$ mode oder '−' mode stellen die phasenverschobene Bewegung der Pendel dar, wobei sich die Pendel mit entgegengesetzter Phase (entgegengesetzter Richtung) bewegen.

Ich habe die Teile, die ich nicht verstehe, oben fett markiert .

Zweifel:

Was versteht man unter entkoppelt ?
Warum stellen die beiden Gleichungen die Normalmoden dar ?
Warum tut $\theta_1+\theta_2$ repräsentieren gleichphasige und $\theta_1-\theta_2$ eine phasenverschobene Bewegung darstellen ?

Antworten (2)

Zweigekoppelter Oszillator: Zweifel beim Finden von Normalmoden und Eigenfrequenz

Benutzer8736288 · Answer 1

Vermuten $\alpha = \theta_{1} +\theta_{2}$ Und $\beta = \theta_{1}-\theta_{2}$ dann hängt die erste Gleichung nur von einer einzigen Variablen ab $\alpha$ und die zweite an $\beta$ , also sind die Gleichungen entkoppelt.
Die Aussage, dass die Gleichungen entkoppelt sind oder dass die Matrix des Systems diagonal ist oder dass die Gleichungen die Eigenvektoren und Eigenwerte definieren oder dass die Gleichungen die Normalmoden und Eigenfrequenzen definieren, bedeutet alles dasselbe, soweit ich weiß .
$\theta_{1}=(\alpha + \beta)/2$ , $\theta_{2}=(\alpha-\beta)/2$ , wenn das System erst dann in seiner ersten Normalmode schwingt $\beta=0$ , Bedeutung $\theta_{1}=\theta_{2}$ , haben die beiden Massen eine gleichphasige Bewegung. Nur mit zweitem Modus $\alpha=0$ , $\theta_{1}=-\theta_{2}$ , haben die beiden Massen eine phasenverschobene Bewegung.

John Alexiou · Answer 2

In Betracht ziehen $\theta_{\rm sum} = \theta_1 + \theta_2$ als eine Variable und $\theta_{\rm diff} = \theta_1 - \theta_2$ als zweite Variable.

Die beiden Gleichungen werden

\begin{aligned} ICH \frac{D^{2}}{D T^{2}} θ_{S u M} & = - (M_{eff} G L) θ_{S u M} \\ ICH \frac{D^{2}}{D T^{2}} θ_{D ich F F} & = - (M_{eff} G L - 2 κ l^{2}) θ_{D ich F F} \end{aligned}

$\begin{aligned} I \frac{{\rm d}^2}{{\rm d}t^2} \theta_{\rm sum} & = − \left(M_\text{eff}\ g L\right) \theta_{\rm sum} \\ I \frac{{\rm d}^2}{{\rm d}t^2} \theta_{\rm diff} & = − \left( M_\text{eff}\ gL−2\kappa l^2\right) \theta_{\rm diff} \end{aligned}$

Jetzt ist klar, dass es sich um zwei entkoppelte Gleichungen handelt. Jede Differentialgleichung besteht nur aus einer Unbekannten.

Wenn nun die beiden Pendel um den gleichen Betrag phasenverschoben sind $\theta_{\rm sum} = \theta + (-\theta) =0$ Und $\theta_{\rm diff} = \theta - (-\theta) = 2 \theta$ . Die zweite Gleichung beschreibt also die phasenverschobene Schwingung.
Umgekehrt, wenn sie in Phase sind $\theta_{\rm sum} = 2 \theta$ Und $\theta_{\rm diff} = 0$ , was bedeutet, dass die erste Gleichung die gleichphasige Bewegung beschreibt.

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Soham

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Benutzer8736288

John Alexiou

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