Energieübertragung zwischen gekoppelten Oszillatoren

Question

Energieübertragung zwischen gekoppelten Oszillatoren

Physik
Oszillatoren
gekoppelte Oszillatoren
harmonischer Oszillator
Newtonsche Mechanik

suiz

Dieses Problem zur Energieübertragung zwischen gekoppelten Oszillatoren stammt aus Introduction to Mechanics Kleppner und Kolenkow.

Frage

Betrachten Sie noch einmal das System aus zwei Pendeln und Federn, das wir gerade besprochen haben. Angenommen, eines der Pendel, das als Pendel 1 bezeichnet wird, ist in einen Winkel versetzt $\theta_0$ und veröffentlicht um $t = 0$ . Anfangs befindet sich die gesamte Energie des Systems in Pendel 1. Das Problem besteht darin, zu sehen, was mit der Energie passiert, wenn die Zeit vergeht.

Ergebnis

\begin{aligned} θ_{1} (T) & = (θ_{0} / 2) [\cos (ω_{+} T) + \cos (ω_{-} T)] \\ θ_{2} (T) & = (θ_{0} / 2) [- \cos (θ_{+} T) + \cos (θ_{-} T)] . \end{aligned}

$\begin{align} \theta_1(t) &= (\theta_0/2) [\cos (\omega_+ t) + \cos (\omega_− t)] \\ \theta_2(t) &= (\theta_0/2) [− \cos (\theta_+t) + \cos(\theta_−t)] \, . \end{align}$

Wir können dies in symmetrischerer Form schreiben, indem wir die mittlere Häufigkeit einführen $\overline \omega = (\omega_+ +\omega_−)/2$ , und die Differenzfrequenz $\delta =( \omega_+ − \omega_−)/2$ , so dass $\omega_+ = \overline \omega + \delta$ , $\omega_− = \overline \omega − \delta$ . Verwendung der Identität

\cos (A + B) = \cos A \cos B - Sünde A Sünde B,

$\cos(A + B) = \cos A \cos B − \sin A \sin B \, ,$ wir können obige Gleichungen schreiben als

\begin{aligned} θ_{1} (T) & = θ_{0} \cos (δ T) \cos (\bar{ω} T) \\ θ_{2} (T) & = θ_{0} Sünde (δ T) \cos (\bar{ω} T) . \end{aligned}

$\begin{align} \theta_1(t) &= \theta_0 \cos (\delta t) \cos(\overline \omega t) \\ \theta_2(t) &= \theta_0 \sin (\delta t) \cos(\overline \omega t) \, . \end{align}$

Auswertung

Das System schwingt mit mittlerer Frequenz $\omega_-$ , aber die Amplitude der Schwingung schwingt langsam zwischen den beiden Pendeln mit der Frequenz hin und her $\delta$ . Anfangs ist die Energie in Pendel 1, aber wann $\delta t = \pi/x$ , hat sich die Energie auf Pendel 2 übertragen. Die Energie kehrt schließlich zu Pendel 1 zurück. Wenn die Kopplung verringert wird, $\delta$ kleiner wird und die Energieübertragung länger dauert. Trotzdem wird es irgendwann ankommen.

Die Teile, wo ich verwirrt war:

Erstens denke ich, dass es sein sollte $\theta_2(t) = \theta_0 \sin (\delta t) \sin(\overline \omega t)$ .
Zweitens habe ich Schwierigkeiten, den Bewertungsteil zu verstehen. Wie könnte das Ergebnis uns sagen, dass die durchschnittliche Häufigkeit ist $\overline \omega$ , und die Amplitude der Schwingung schwingt langsam zwischen den beiden Pendeln mit der Frequenz hin und her $\delta$ ?
Was ist $x$ In $\delta t = \pi / x$ ? Es wird nirgendwo erwähnt, was mich denken ließ, dass es so sein muss $\delta t = \pi/2$ , aber ich bin mir dessen nicht sicher.

Akkumulation

"

ω_{-} = (ω_{+} + ω_{-}) / 2

$ω_- = (ω_+ +ω_−)/2$ " Ist das die Schreibweise des Buches? Das ist einfach schrecklich. Und unter "Ergebnis" sollte es "

θ_{1} (t) = θ_{0} [c o s (ω_{+} t) + c o s (ω_{-} t)] / 2

$θ_1(t) = θ_0 [cos (ω_+t) + cos (ω_−t)] / 2$ ?

suiz

Vielen Dank. Es war mein Fehler, nicht der des Buches.

Daniel Sank

Bitte schau dir meine Bearbeitung an, damit du sehen kannst, wie man die Mathematik schön aussehen lässt.

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" $ω_- = (ω_+ +ω_−)/2$ " Ist das die Schreibweise des Buches? Das ist einfach schrecklich. Und unter "Ergebnis" sollte es " $θ_1(t) = θ_0 [cos (ω_+t) + cos (ω_−t)] / 2$ ?
Bitte schau dir meine Bearbeitung an, damit du sehen kannst, wie man die Mathematik schön aussehen lässt.

Nick D · Answer 1

1) Ja, Sie haben Recht, aber es macht wirklich keinen großen Unterschied: Sinus und Cosinus sind so ziemlich dasselbe, wobei einer nur um eine Phase gegenüber dem anderen verschoben ist.

2) Sie gehen davon aus, dass die beiden Frequenzen nahe beieinander liegen $\overline\omega$ ist auch in der Nähe von ihnen und irgendwo dazwischen, aber $\delta$ da die Differenz zweier nahezu gleicher Mengen viel kleiner ist. Sie hören also eine Frequenzwelle $\overline\omega$ aber die Welle hat keine konstante Amplitude: Sie wird durch die "moduliert". $\cos \delta t$ Faktor und Sie hören eine (relativ) langsame Veränderung der Lautstärke. Wenn Sie zwei Stimmgabeln mit identischer Frequenz nehmen und ein Gummiband um das Bein der einen wickeln, um ihre Frequenz nur geringfügig zu ändern, können Sie sie zum Schwingen bringen und sie nah an Ihr Ohr halten. Sie können dann die Welle bei der Grundfrequenz hören, aber die Lautstärke wird relativ langsam ansteigen und abfallen (das Phänomen heißt Beats und wurde bei der Herstellung von Stimmgabeln verwendet: eine war ein Standard und die andere wurde modifiziert, bis keine Beats mehr produziert wurden). Es wird auch beim Stimmen von Musikinstrumenten verwendet: Wenn es keine Schläge gibt (dh $\delta = 0$ ), die beiden Instrumente sind genau gestimmt).

Sie haben also eine langsame Schwingung, die einer schnellen überlagert ist:

(Ich habe das Bild aus dem obigen Artikel in Wikipedia, also ist die Notation nicht dieselbe, aber es sollte klar genug sein: wie sie heißen $\pi f_S$ ist das, was du nennst $\delta$ und wie sie heißen $2\pi f_R$ ist das, was du nennst $\overline\omega$ ).

3) Notieren Sie dann wann $\cos \delta t$ ist dann 0 $\sin \delta t$ maximal (oder minimal) ist und umgekehrt. Also bei $t=0$ Die Amplitude des ersten Pendels ist maximal und die Amplitude des zweiten ist 0 (weil bei $t=0$ , $\cos \delta t = 1$ , $\sin \delta t = 0$ ). Aber einige Zeit später, wann $\delta t = \frac{\pi}{2}$ , der Kosinus ist 0 und der Sinus ist maximal (im Absolutwert). Zu diesem Zeitpunkt ist die Amplitude des ersten Pendels 0 und die Amplitude des zweiten maximal. Dazwischen nimmt die eine Amplitude zu, die andere ab und die Energie schwappt zwischen den beiden Pendeln hin und her (Pendel?). Das ist mit Stimmgabeln nicht so leicht zu sehen, aber mit einem Slinky zur Bereitstellung der schwachen Kopplung und ein paar an Schnüren aufgehängten Suppendosen ist es leicht zu sehen (siehe Crawfords "Waves" in der Berkeley Physics-Reihe aus den 1960er Jahren: er schließt ein eine Reihe faszinierender "Heimexperimente" im Buch). Es gibt YouTube-Videos , die dies veranschaulichen, wenn Sie kein eigenes Experiment aufbauen möchten.

Und du hattest recht $x$ .

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