Pendel synchronisieren

Dies ist tatsächlich ein interessantes Problem in der klassischen Mechanik, das auf Huygens zurückgeht . Wir arbeiten mit den drei Variablen, die Sie in der Frage definieren, nämlich$(x,\theta_1, \theta_2)$. Außerdem stellen wir Ihre ein$m = l = g = 1$der Einfachheit halber.

Kinetische Energie

Der Positionsvektor des ersten Pendelkörpers ist

$$\mathbb{r}_1 = (x+\sin\theta_1, \cos\theta_1)$$

woraus wir seine kinetische Energie ableiten

$$2T_1 = \dot{x}^2 + 2\dot{x}\dot{\theta_1}\cos\theta_1 + \dot{\theta_1}^2$$

Auf ähnliche Weise können wir die kinetische Energie des zweiten Bobs finden.

Schließlich müssen wir die kinetische Energie des Trägers mit Masse berücksichtigen$M$.

$$2T_3 = M\dot{x}^2$$

Es ist interessant, es zu behalten$M\neq 0$da unterschiedliche Werte von$M$unterschiedliches Verhalten geben.

Potenzielle Energie

Wir gehen davon aus, dass die Schwerkraft wie üblich auf die Bobs einwirkt und potenzielle Energieformen erzeugt$\cos\theta$. Wir nehmen auch ein elastisches Potential an$kx^2$den Tisch wieder ins Gleichgewicht bringen. Insgesamt haben wir

$$V = kx^2 - \cos\theta_1-\cos\theta_2$$

Bewegungsgleichungen

Man kann die Lagrangian leicht aufschreiben$L=T-V$und daraus die Bewegungsgleichungen ableiten

$$\ddot{\theta}+\ddot{x}\cos\theta+\sin\theta-\dot{x}\dot{\theta}\sin{\theta} = 0$$

$$(M+2)\ddot{x}+\ddot{\theta_1}\cos\theta_1+\ddot{\theta_2}\cos\theta_2 - \dot{\theta_1}^2\sin\theta_1-\dot{\theta_2}^2\sin{\theta_2} + kx = 0$$

Als ich diese in Mathematica einfügte, gab es interessanterweise keine Synchronisation! Es stellt sich heraus, dass die fehlende Zutat Dämpfung ist.

Dämpfung

Intuitiv muss die Phasendifferenz zwischen den Pendeln in Abwesenheit jeglicher dissipativer Effekte periodisch driften. Genau das sieht man, wenn man die obigen Gleichungen mit Mathematica numerisch löst.

Denken Sie daran, dass die Dämpfung normalerweise als additiver Term proportional zur Geschwindigkeit modelliert wird. Hinzufügen in solchen Begriffen für$\theta_1$,$\theta_2$Und$x$erzeugt nun das gewünschte Synchronisationsverhalten. Für meine Anfangsbedingungen und die Wahl der Konstanten erhalten wir eine Antiphasenverriegelung.

Zusammenfassung der Physik

Impulsübertragung durch ein verbindendes Medium, gekoppelt mit dissipativen Effekten, führt zur Synchronisation.

Bessere Modelle

Um das erwähnte Video vollständig zu modellieren, benötigen Sie einen Zwangsterm aus dem Hemmungsmechanismus der Metronome. Über einen solchen Ansatz können Sie hier nachlesen . Siehe auch diese Wolfram-Demonstration und die Artikel, auf die sie verweist.

Dem Chaos entgegen

Offensichtlich ist dieser Aufbau nichtlinear und zeigt daher allgemein chaotisches Verhalten. Das Studium solcher Systeme ist besonders wichtig in Chemie und Biologie. Hier ist eine gute Einführung.

Wenn Sie selbst mit diesem Verhalten herumspielen wollen, hier ist mein rudimentärer Mathematica-Code. Versuchen Sie, mit den Konstanten und Anfangsbedingungen zu spielen.

sol = NDSolve[{30 x''[t] + y''[t] Cos[y[t]] + z''[t] Cos[z[t]] -
     y'[t]^2 Sin[y[t]] - z'[t]^2 Sin[z[t]] + 30 x[t] + 2 x'[t] == ​​0,
   y''[t] + x''[t] Cos[y[t]] + Sin[y[t]] - x'[t] y'[t] Sin[y[t]] +
     0,02 y'[t] == ​​0,
   z''[t] + x''[t] Cos[z[t]] + Sin[z[t]] - x'[t] z'[t] Sin[z[t]] +
     0,02 z'[t] == ​​0, x[0] == 0, x'[0] == 0, y[0] == Pi/10,
   y'[0] == 0, z[0.5] == 1, z'[2] == 0}, {x, y, z}, {t, 0, 1000}]
Plot[{Auswerten[y[t] /. sol], Auswerten[z[t] /. Sol]}, {t, 0, 250},
 PlotRange -> Alle]