Bewegungsgleichungen für ein Kugelpendel? [geschlossen]

Question

Bewegungsgleichungen für ein Kugelpendel? [geschlossen]

Harscha

Ich versuche, die Bewegungsgleichungen zu lösen, um ein Kugelpendel zu simulieren . Ich habe mich für die sphärischen Koordinaten entschieden. Die Lagrange-Gleichung lautet

L = T - v = \frac{1}{2} M {(L \dot{θ})}^{2} + \frac{1}{2} M {(L Sünde θ \dot{ϕ})}^{2} - (- M G L \cos θ),

$L=T-V=\frac{1}{2}m\left(L\dot\theta\right)^2+\frac{1}{2}m\left(L\sin\theta\dot\phi\right)^2-\left(-mgL\cos\theta\right),$

Wo $L$ ist die Länge des Seils, $ϕ$ ist der Winkel der Projektion des Seils auf $x$ - $y$ Flugzeug mit $x$ -Achse und $θ$ ist der Winkel mit dem $-z$ -Achse

Ich habe diese Gleichungen gelöst:

\begin{aligned} \frac{D}{D T} (\frac{\partial L}{\partial \dot{θ}}) - \frac{\partial L}{\partial θ} & = 0, \\ \frac{D}{D T} (\frac{\partial L}{\partial \dot{ϕ}}) - \frac{\partial L}{\partial ϕ} & = 0, \end{aligned}

$\begin{align} \frac{\mathrm d}{\mathrm dt}\left(\frac{\partial L}{\partial\dot\theta}\right)-\frac{\partial L}{\partial\theta}&=0, \\ \frac{\mathrm d}{\mathrm dt}\left(\frac{\partial L}{\partial\dot\phi}\right)-\frac{\partial L}{\partial\phi}&=0, \end{align}$

und ich habe

\ddot{θ} = Sünde θ \cos θ {\dot{ϕ}}^{2} - \frac{G}{L} Sünde θ

$\ddot\theta=\sin\theta\cos\theta\dot\phi^2-\frac{g}{L}\sin\theta$ Und

\frac{D}{D T} (M L^{2} {Sünde}^{2} θ \dot{ϕ}) = 0

$\frac{\mathrm d}{\mathrm dt}(mL^2\sin^2θ\dot\phi) = 0$ Dies scheint so, als ob die Änderung des Drehimpulses erhalten bleibt. Aber wenn ich es mehr löse

\ddot{ϕ} = - 2 \dot{ϕ} \dot{θ} Kinderbett θ

$\ddot\phi = -2\dot\phi\dot\theta\cot\theta$

Das ergibt für mich keinen Sinn, weil es unendlich wird, wenn θ auf 0 geht. Irgendwelche Ideen, was ich falsch mache?

John Alexiou

Nur zur Verdeutlichung ist die Position der Masse an

\vec{r} = (L \cos ϕ \sin θ, L \sin ϕ \sin θ, - L \cos θ)

$\vec{r} = (L\cos\phi\sin\theta, L\sin\phi\sin\theta, -L\cos\theta)$ und die Schwerkraft wirkt in -z-Richtung?

QMechaniker

Hinweise: 1. Gehen Sie zur Routhschen Formulierung. 2. Die

θ = 0

$\theta=0$ Die Singularität ergibt sich aus dem Zentrifugalpotential.

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Nur zur Verdeutlichung ist die Position der Masse an $\vec{r} = (L\cos\phi\sin\theta, L\sin\phi\sin\theta, -L\cos\theta)$ und die Schwerkraft wirkt in -z-Richtung?
Hinweise: 1. Gehen Sie zur Routhschen Formulierung. 2. Die $\theta=0$ Die Singularität ergibt sich aus dem Zentrifugalpotential.

Emilio Pisanty · Answer 1

Die Fälle mit Null- und Nicht-Null-Drehimpuls sollten getrennt behandelt werden.

Wenn $\theta$ jemals den Nulldurchgang durchläuft, dann ist der Drehimpuls zu diesem Zeitpunkt gleich Null. Der Erhaltungssatz besagt, dass der Drehimpuls zu jeder Zeit verschwindet. Dies impliziert das $\phi$ konstant ist und alle seine Ableitungen verschwinden. (Das bedeutet, dass $\ddot\phi\propto\dot \phi\cot(\theta)$ explodiert nicht, weil beide Seiten verschwinden.) In diesem Fall sind Sie wieder beim planaren Fall, und Sie sollten ihn als solchen lösen oder die Übergänge von positiv zu negativ behandeln $\theta$ auf sorgfältige Weise.
Andererseits, wenn der Drehimpuls ungleich Null ist – wie es passieren muss, wenn $\dot\phi$ immer ungleich Null ist - dann kann das Teilchen den Pol niemals überqueren, und Ihre Gleichung ist perfekt definiert.

Das allgemeine Schema zur Lösung dieses Problems besteht darin, das zu finden $\ell=\sin^2\theta\ \dot\phi$ ist konserviert und zu vergessen $\phi$ vorübergehend. Wenn Sie dies in Ihre andere Gleichung einsetzen, erhalten Sie eine einzelne Gleichung zweiter Ordnung $\theta$ ; Sobald Sie dies gelöst haben, erhalten Sie automatisch $\phi$ von der Integration $\ell/\sin^2\theta$ . Die Gleichung für $\theta$ , ändert jedoch radikal den Charakter, je nachdem, ob $\ell$ Null ist oder nicht: Wenn dies nicht der Fall ist, erscheint eine Drehimpulsbarriere, die stoppt $\theta$ davon ab, jemals Null zu erreichen. Versuch es!

aber dies spricht immer noch nicht die Tatsache an, dass der Wert sehr groß wird, wenn sich θ 0 nähert.
Nein, tut es nicht. Null mal sehr groß ist immer noch Null.
Aber falls $\theta$ geht gegen null, $\dot{\phi}$ wird auch wachsen, um dies zu kompensieren, was Ihnen das Naturschutzgesetz sagt. Wenn Ihr Drehimpuls dort anfangs Null ist, wird er außerdem immer Null sein. Das sagt dir ziemlich viel, entweder du beginnst in der $\theta = 0$ Regime oder so $\dot{\phi} = 0$ immer, abhängig von Ihren Ausgangsbedingungen.

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Harscha

John Alexiou

QMechaniker

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Emilio Pisanty

Harscha

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webb

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