Schwingungsdauer TTT mit kubischer Kraftfunktion

Question

Schwingungsdauer TTT mit kubischer Kraftfunktion

Physik
Oszillatoren
Newtonsche Mechanik
anharmonische Oszillatoren
Hausaufgaben-und-Übungen

Oberst Zweiunddreißig

Wie würde ich die Periode eines Oszillators mit der folgenden Kraftgleichung finden?

F (X) = - C X^{3}

$F(x)=-cx^3$

Ich habe bereits die potentielle Energiegleichung gefunden, indem ich über die Entfernung integriert habe:

U (X) = \frac{C X^{4}}{4} .

$U(x)={cx^4 \over 4}.$

Jetzt muss ich eine Funktion für den Zeitraum finden (in Bezug auf $A$ , die Amplitude, $m$ , Und $c$ ), aber ich weiß nicht, wie ich das Problem angehen soll. Ich kann eine Differentialgleichung aufstellen:

M \frac{D^{2} X (T)}{D T^{2}} = - C X^{3},

$m{d^2x(t) \over dt^2}=-cx^3,$

D^{2} X (T) = - \frac{C X^{3}}{M} D T^{2} .

$d^2x(t)=-{cx^3 \over m}dt^2.$

Aber ich bin mir nicht sicher, wie ich das lösen soll. Wolfram Alpha gibt eine besonders unangenehme Lösung mit der hypergeometrischen Funktion, daher glaube ich nicht, dass die Lösung Differentialgleichungen beinhaltet. Aber ich habe keine anderen Anhaltspunkte.

Wie würde ich den Zeitraum finden $T$ dieses Oszillators?

QMechaniker

Ähnliches Problem: physical.stackexchange.com/q/60202/2451

Michael

auch verwandt: physical.stackexchange.com/q/75411

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Schwingungsdauer TTT mit kubischer Kraftfunktion

John Alexiou · Answer 1

Ab

\frac{1}{2} (v (X)^{2} - v_{0}^{2}) = - \frac{C}{M} X^{4}

$\frac{1}{2} \left( v(x)^2 - v_0^2 \right)= - \frac{c}{m} x^4$

mit Anfangsgeschwindigkeit $v_0$ Wenn $x=0$ , das Zeitverhältnis ist

T = \int_{0}^{X} \frac{1}{v (X)} D X

$t = \int_0^x \frac{1}{v(x)}\,{\rm d} x$

Ich verwende eine Zwischenvariable $\xi$ für Abstand $x = \sqrt[4]{\frac{2 m v_0^2}{c}}\, \xi$ .

Ich integriere die Energiebeziehung, um zu bekommen

T = \int_{0}^{X} \frac{1}{\sqrt{v_{0}^{2} - \frac{C X^{4}}{2 M}}} D X = \sqrt[4]{\frac{2 M}{C v_{0}^{2}}} \int_{0}^{ξ} \frac{1}{\sqrt{1 - ξ^{4}}} D ξ

$t = \int_0^x \frac{1}{\sqrt{v_0^2 - \frac{c x^4}{2 m} }} \,{\rm d} x=\sqrt[4]{ \frac{2 m}{c v_0^2} } \int_0^\xi \frac{1}{\sqrt{1-\xi^4}}\,{\rm d} \xi$

T = \sqrt[4]{\frac{2 M}{C v_{0}^{2}}} E l l ich P T ich C F ({Sünde}^{- 1} ξ, - 1)

$t = \sqrt[4]{ \frac{2 m}{c v_0^2} }\; {\rm EllipticF}( \sin^{-1}\xi, -1)$

Beachten Sie, dass das elliptische Integral eine Taylorentwicklung von hat

E l l ich P T ich C F (X, M) \approx X + \frac{M}{6} X^{3} - \frac{M}{30} X^{5} + \dots

${\rm EllipticF}(x,m) \approx x + \frac{m}{6} x^3 - \frac{m}{30} x^5 + \ldots$

was die obige Lösung ungefähr macht (für kleine Verschiebungen)

T = \frac{τ}{2 π} {Sünde}^{- 1} ξ

$t = \frac{ \tau}{2\pi} \; \sin^{-1}\xi$

mit Periode $\tau = 2 \pi \sqrt[4]{ \frac{2 m}{c v_0^2} }$ und Endlösung

X = \sqrt[4]{\frac{2 M v_{0}^{2}}{C}} Sünde (\frac{2 π T}{τ})

$x = \sqrt[4]{\frac{2 m v_0^2}{c}}\,\sin \left( \frac{2 \pi t}{\tau} \right)$

+1, aber ich kann den Schritt nicht aus dem ursprünglichen Integral reproduzieren $\int_0^\xi \frac{1}{\sqrt{1-\xi^4}}\,{\rm d} \xi$ zu einer Definition des elliptischen Integrals erster Art. Könnten Sie einige Informationen hinzufügen?

Shuchang · Answer 2

Seit

\frac{1}{2} M v^{2} + U (X) = U (A)

$\frac1 2mv^2+U(x)=U(A)$ Wir haben

D T = \frac{D X}{v} = \frac{D X}{\sqrt{2 (U (A) - U (X)) / M}} = \frac{D X}{\sqrt{C (A^{4} - X^{4}) / (2 M)}}

$dt=\frac{dx}v=\frac{dx}{\sqrt{2(U(A)-U(x))/m}}=\frac{dx}{\sqrt{c(A^4-x^4)/(2m)}}$ Dann

\frac{T}{4} = \int_{0}^{\frac{T}{4}} D T = \int_{0}^{A} \frac{D X}{\sqrt{\frac{C}{2 M} (A^{4} - X^{4})}}

$\frac T4=\int_0^{\frac T4}dt=\int_0^A\frac{dx}{\sqrt{\frac{c}{2m}(A^4-x^4)}}$ Daher

T = 4 \int_{0}^{A} \frac{D X}{\sqrt{\frac{C}{2 M} (A^{4} - X^{4})}}

$T=4\int_0^A\frac{dx}{\sqrt{\frac{c}{2m}(A^4-x^4)}}$

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Michael

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Trimok

John Alexiou

Shuchang

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