Ermitteln der Periode einer anharmonischen Schwingung durch Einsetzen der Lösung für SHM

Ihre Zweifel an der angegebenen Lösung sind berechtigt. Die Lösungsmethode scheint ungültig und fehlgeleitet zu sein - aber siehe meine Fußnote. Die richtige Antwortmöglichkeit ist jedoch immer noch (A).

Wenn die potentielle Energie ist$V=k|x|^3$dann (wie Sie beobachten) ist die Bewegung nicht einfach harmonisch und kann nicht beschrieben werden durch$x=A\sin(\omega t)$. Die Differentialgleichung der Bewegung ist

$$m\frac{d^2x}{dt^2}+3kx^2=0$$ was nicht der Form entspricht $$\frac{d^2x}{dt^2}+\omega^2 x=0\,.$$

Die Bewegungsgleichung hat keine einfache Lösung. Wir können jedoch wie in Punkt vorgehen$T$der Schwingung mit kubischer Kraftfunktion . Wir können die Energieerhaltung für den Oszillator schreiben als

$$\begin{align}\frac12m\dot x^2+k|x|^3 &=ka^3\\ \implies~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ \dot x^2 &=\frac{2k}{m}\left(a^3-|x|^3\right)\end{align}$$

Wo$a$ist die Amplitude. Ändern Sie die Variablen in$x=ay$. Dann :

$$\begin{align}a^2\dot y^2 &=\frac{2k}{m}a^3\left(1-|y|^3\right)\\\implies ~ \frac{dy}{dt} &=\sqrt{\frac{2k}{m}a\left(1-|y|^3\right)}\,.\end{align}$$

Die Schwingung ist symmetrisch um den Gleichgewichtspunkt, daher ist die Periode gegeben durch

$$T=\int dt=4\sqrt{\frac{m}{2ka}}\int_0^1 \frac{1}{\sqrt{1-y^3}}~dy\,.$$
Entgegen dem Anschein ist das Integral endlich und hat einen Wert von ca. 1.40218.

Die Periode ist also proportional zu$\frac{1}{\sqrt{a}}$und die Antwort ist (A), aber nicht aus dem in der Lösung angegebenen Grund.

---

Hinweis : Die Lösungsmethode im Bildtext gibt tatsächlich die richtige Abhängigkeit von an$T$auf Amplitude$a$für jedes Potential der Form$k|x|^n$. Vielleicht gibt es also eine Begründung dafür.

Das Problem und seine Verallgemeinerung auf das Potential$V =\frac{k}{n}|x|^n$kann durch Dimensionsanalyse gelöst werden , vgl. zB diese Phys.SE-Antwort, also auch wenn man falsche Gleichungen aufschreibt, zB,

$$x ~=~ a \sin\omega t ,\qquad\qquad\qquad (\longleftarrow \text{Wrong!})$$

solange sie dimensional aussagekräftig sind, z.

$$[x] ~=~ [a \sin\omega t]~=~[a] ,\qquad\qquad (\longleftarrow \text{Correct!})$$

dann kommt man zwangsläufig zum richtigen Ergebnis.

Sie beschweren sich, dass die Lösung eine Bewegungsgleichung aufstellt

$$\begin{align} x(t) &\sim a\sin\omega t \tag1 \\ x''(t) & \sim -\omega^2 a\sin\omega t \tag2 \end{align}$$ Das ist die Lösung für den einfachen harmonischen Oszillator $mx'' = -kx$, nicht zu Ihrem anharmonischen Oszillator $mx'' = -kx^2$. Was eine berechtigte Kritik ist.

Wenn Sie jedoch die vernünftige Annahme machen, dass die Bewegung periodisch sein wird , sagt uns die Fourier-Analyse , dass die Lösung in der Form geschrieben werden kann

$$\begin{align} x(t) &= a_1\sin\omega t + a_2 \sin 2\omega t + \cdots + b_3 \cos3\omega t + \cdots \\ x''(t) &= -\omega^2 \left( a_1\sin\omega t + 2^2 a_2 \sin 2\omega t + \cdots + 3^2 b_3 \cos3\omega t + \cdots \right) \end{align}$$

wobei die Ellipse vielleicht auch einige Kosinusterme enthält. Alle Fourier-Koeffizienten so zu finden, dass die Summe in Klammern das Quadrat der ersten Zeile ist, ist ein einfaches, wenn auch mühsames Problem. Wenn Sie jedoch etwas Erfahrung mit Fourier-Reihen haben, wissen Sie, dass in diesem Fall der Niederfrequenzkoeffizient dominieren wird

$$x(t) \sim a_1\sin\omega t$$ ist falsch, aber nicht grob falsch.

Wie Sie dann vorgehen, hängt von Ihrem persönlichen Geschmack ab. Ihr Text scheint einer Logik zu folgen wie

1. die Bewegungsgleichung ist

   $$-kx^2 = mx''$$

2. Ersetzen von (1) links und (2) rechts,

   $$-k \left(a\sin\omega t\right)^2 = -\omega^2 a\sin\omega t$$

3. lösen für$T\propto 1/\omega$

4. tun so, als würden Sie den Zeitraum nicht bemerken$T$scheint von der Zeit abzuhängen, und betrachten Sie nur ihre Abhängigkeit von der Amplitude$a$.

Der vierte Schritt ist mir unangenehm, und ich denke, er hat Ihnen auch Unbehagen bereitet, da Sie ihn in den Titel Ihrer Frage aufgenommen haben.

Qmechanic schlägt den Ansatz des Physikers vor, indem er die Dimensionsanalyse verwendet. Die einzigen freien Parameter in der Bewegung sind: die Steifigkeit des Potentials$k$, In$\rm J/m^3$; die Masse des Oszillators$m$in Kilogramm; und die Amplitude der Schwingung$a\propto a_1$in Metern. Es gibt nur eine Möglichkeit, diese drei physikalisch bedeutsamen Parameter zu kombinieren, um eine Zeit in Sekunden zu erhalten, und die gibt es$T\propto \sqrt{m/ak}$.