Exakte Gleichung der Exponentialkurven der unterdämpften harmonischen Bewegung

aber nachdem ich viel versucht hatte, konnte ich immer noch nicht herausfinden, wie ich sie ableiten sollte

Hast du versucht:

$$\frac{dx}{dt} = -\gamma e^{-\gamma t}C\cos(\tilde\omega t + \phi) - \tilde\omega e^{-\gamma t}C\sin(\tilde\omega t + \phi)$$

was Null ist, wenn

$$\tan^{-1}\frac{\gamma}{\tilde\omega} = -(\tilde\omega t + \phi)$$

Das Bild unten (Quelle: Wikipedia) ist ein Diagramm der Kurve$\space x(t)=e^{-\gamma t}C \space \cos\left(\tilde{\omega }t+\phi\right)$:

                            

Wir müssen den Kosinus so fixieren, dass der obige Ausdruck alle Maximal-/Minimalwerte (Extrema) der Kurve auswählt. Um dies zu erreichen, ist es notwendig, alle Zeitpunkte zu finden, an denen Wendepunkte (Extrema-Punkte) auftreten, und diese innerhalb von zu ersetzen$\cos\left(\tilde{\omega }t+\phi\right)$.

---

Erinnern an den Satz von Fermat aus Calculus:

Wenn$f(x)$hat ein relatives Extremum bei$x=c$Und$f(c)$existiert also$x=c$ist ein kritischer Punkt$f(x)$. In der Tat wird es so ein kritischer Punkt sein$f'(c)=0$

Mit diesem Theorem können wir alle relativen Extrema finden (was genau das ist, wonach wir suchen):

$$\dot{x}(t)=0 \iff -\gamma e^{-\gamma t}C\cos(\tilde\omega t + \phi) - \tilde\omega e^{-\gamma t}C\sin(\tilde\omega t + \phi)=0$$ $$-\dfrac{\gamma}{\tilde\omega}=\frac{\sin(\tilde\omega t + \phi)}{\cos(\tilde\omega t + \phi)}=\tan(\tilde\omega t + \phi) \stackrel{(1)}{\iff} \tilde\omega t + \phi = \tan^{-1}\left(-\frac{\gamma}{\tilde\omega}\right)+n\pi,n\in\mathbb{Z}$$ $$\tilde\omega t + \phi = \tan^{-1}\left(-\frac{\gamma}{\tilde\omega}\right)+n\pi,n\in\mathbb{Z} \stackrel{(2)}{\iff} t=\frac{-\tan^{-1}\left(\gamma/\tilde\omega\right)-\phi+n\pi}{\tilde\omega},n\in \mathbb{N}$$

Hinweis: Betrachtet man den Ausdruck von$t$, wir können negative Zeit haben. Um dies zu vermeiden, reicht es aus, Folgendes zu tun:

$$-\tan^{-1}\left(\gamma/\tilde\omega\right)-\phi+n\pi \geq 0 \stackrel{(3)}{\iff}n\geq\left \lceil{\frac{\tan^{-1}(-\gamma/\tilde\omega)+\phi}{\pi}}\right \rceil,n\in\mathbb{N}$$

---

Wenn wir alle Momente ersetzen, in denen Wendepunkte innerhalb des Kosinus des Anfangsausdrucks auftreten, haben wir:

$$\begin{alignat}{1}e^{-\gamma t}C \space \cos(\tilde\omega t + \phi) &= e^{-\gamma t}C \space \cos\left[\tilde\omega\cdot \left(\frac{-\tan^{-1}(\gamma/\omega)-\phi+n\pi}{\tilde\omega}\right)+ \phi \right] \\&=e^{-\gamma t}C \space \cos \left[-\tan^{-1}(\gamma/\tilde\omega)+n\pi \right] \end{alignat}$$

Kosinus vereinfachen:

$$\begin{alignat}{1} \cos \left[-\tan^{-1}(\gamma/\tilde\omega)+n\pi \right] &= \cos \left[-\tan^{-1}(\gamma / \tilde\omega)\right]\cdot \cos(n\pi)-\sin\left[-\tan^{-1}(\gamma / \tilde\omega)\right]\cdot \sin(n\pi) \\ &= \cos \left[\tan^{-1}(\gamma / \tilde\omega)\right]\cdot (\pm 1)-\sin\left[-\tan^{-1}(\gamma / \tilde\omega)\right]\cdot 0 \\ &= \pm \cos \left[\tan^{-1}(\gamma / \tilde\omega)\right] \end{alignat}$$

---

Daher ist die Modulation der Amplitude gegeben durch$M(t)$, Wo:

$$M(t)=\pm \space e^{-\gamma t}C \space \cos \left[\tan^{-1}(\gamma / \tilde\omega)\right]$$

Wenn wir ein leichtes Dumping haben$(\gamma << \omega)$, dann kann folgende Vereinfachung vorgenommen werden:

$$\begin{alignat}{1}M(t) &\approx \pm \space e^{-\gamma t}C \space \cos \left[\tan^{-1}(\approx0)\right] \\&\approx \pm \space e^{-\gamma t}C \space \cos \left[\approx0\right] \\&\approx \pm \space e^{-\gamma t}C \end{alignat}$$

---

Anmerkungen:

(1)$\space \tan(y)=x \iff y=\tan^{-1}(x)+k\pi,k\in\mathbb{Z}$

(2)$\space \tan^{-1}(-x)=-\tan^{-1}(x)$Und$\cos(-x)=\cos(x)$, ist also ausreichend zu verwenden$n\in\mathbb{N}$anstatt$n\in\mathbb{Z}$

(3)$\space \left\lceil{Ceil}\right\rceil$Weil$n\in\mathbb{N}$