Ableitung des gedämpften SHM-Geschwindigkeitsausdrucks

Dies ist aus Main: Vibrations and Waves in Physics .

Dies ist eine (grundlegende) Standardbehandlung in Bezug auf die SHM-Lichtdämpfung und die Verwendung einer Testlösung$x=Ce^{pt}$.

Wurzeln von p sind$-\frac {\gamma}{2} \pm i{\omega_f}$

Wo

$${\omega_f} =({ \omega_0^2}-\frac {\gamma^2}{4})^{1/2}$$ $$={\omega_0}[1-(\frac {\gamma}{2 \omega_0})^2]^{1/2}$$

So weit, so Standard. Main gibt dann (Seite 36) die 4 verschiedenen Ausdrucksvarianten an$x(t)$in Bezug auf trigonometrische Identitäten und komplexe Notation.

Was mich hier verliert, sind die impliziten Schritte in der Differenzierung des ersten dieser Ausdrücke unten (die den zweiten erzeugen), die notwendig sind, um die Anfangsbedingungen festzulegen, ich kann es einfach nicht sehen.

$$x=A \cos {\theta} ={A_1}$$

$${\dot x}=-\frac {\gamma}{2}A\cos {\theta}-{\omega_f}A\sin {\theta}=0$$

Ich habe verschiedene Quellen durchgesehen, aber was mit verschiedenen Notationen und Trig-Identitäten, ich habe den Fluss verloren.

Ich habe PDFs wie French und MIT Open Courseware durchgelesen, möchte aber die Notation und den Ansatz von Main beibehalten.

Ich studiere mich selbst (und ich folge 90 Prozent des Restes des Buches), aber dieses dumme Einfrieren des Gehirns irritiert mich.