Finden der Resonanzfrequenz für erzwungene gedämpfte Schwingungen

Deine Gleichungen scheinen zu stimmen. Es sind drei Arten von Frequenzen zu berücksichtigen:

• $\omega_0$ist die Frequenz der ungedämpften Schwingungen, dh wann$b = 0$, auch bekannt als Eigenfrequenz
• $\omega_d$ist die Frequenz der gedämpften Schwingungen, dh wann$0<b<2m\omega_0$
• $\omega_r$ist die Frequenz, bei der die Systemverstärkung maximal ist, auch bekannt als Resonanzfrequenz

Die Resonanzfrequenz ist nicht gleich der Eigenfrequenz , außer bei ungedämpften Oszillatoren, die nur in der Theorie existieren. Hier ist eine physikalische (intuitive) Erklärung:

https://physics.stackexchange.com/a/353061/149541

Bei Oszillatoren mit hoher Güte ist die Resonanzfrequenz jedoch gleich der Eigenfrequenz$\omega_r \approx \omega_0$, wie ich hier zeigen werde.

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Die Differentialgleichung des zwangsgedämpften Oszillators lautet:

$$m \ddot{x} + b \dot{x} + k x = u$$

Wo$m$ist die Objektmasse und$b$ist der Dämpfungskoeffizient. Diese Systemgleichung wird auch oft in folgender Form geschrieben:

$$\ddot{x} + \gamma \dot{x} + \omega_0^2 x = \frac{1}{m} u$$

Wo

$$\gamma = \frac{b}{m} \quad \text{and} \quad \omega_0^2 = \frac{k}{m}$$

Der Qualitätsfaktor ist eine dimensionslose Zahl, die beschreibt, wie unterdämpft ein Oszillator ist. Je höher die Zahl, desto langsamer klingt die Schwingungsamplitude ab:

$$Q = \frac{\omega_0}{\gamma}$$

Die Übertragungsfunktion des Systems ist:

$$G(s) = \frac{1}{m} \frac{1}{s^2 + \gamma s + \omega_0^2} = \frac{1}{m \omega_d} \frac{\omega_d}{(s+\sigma)^2 + \omega_d^2}$$

Wo

$$\sigma = \frac{\gamma}{2} \quad \text{and} \quad \omega_d = \sqrt{\omega_0^2 - \sigma^2} = \omega_0 \sqrt{1 - \frac{1}{4Q^2}}$$

Das System ist unterdämpft, wenn$\omega_0^2 - \sigma^2 > 0$, dh wann$b < 2 m \omega_0$. Wenn diese Bedingung erfüllt ist, schwingt das System mit einer Amplitude, die mit der Zeit abklingt. Beachten Sie auch die Auswirkung des Qualitätsfaktors auf das System - je höher der$Q$, die Schwingungen werden weniger gedämpft und die Frequenz$\omega_d$ist näher dran$\omega_0$, Wo$Q > \frac{1}{2}$.

Die Antwort auf jede Eingabe in der Laplace-Domäne ist$X(s) = G(s) U(s)$. Wenn das Eingangssignal ein Impuls ist$u(t) = \delta(t) \leftrightarrow U(s) = 1$, dann ist die entsprechende Antwort ( Impulsantwort ).

$$x(t) = \frac{1}{m\omega_d} e^{-\sigma t} \sin(\omega_d t), \qquad t \geq 0$$

Daraus ist klar, was jeder Parameter tut:$\omega_d$ist die Frequenz gedämpfter Schwingungen und$\sigma$die Oszillationsamplituden-Abklingrate ist.

Wir müssen die Übertragungsfunktion in komplexer Darstellung finden:

$$G(j\omega) = \Bigl. G(s) \Bigr|_{s = j\omega} = \frac{1}{m} \frac{1}{(-\omega^2 + \sigma^2 + \omega_d^2) + j(2\sigma\omega)}$$

Die Systemverstärkung ist definiert als

$$A(\omega) = \left| G(j\omega) \right| = \frac{1}{m} \frac{1}{\sqrt{(\omega^2 - \sigma^2 - \omega_d^2)^2 + (2\sigma\omega)^2}}$$

Die maximale Verstärkung in Bezug auf die Frequenz kann aus entnommen werden

$$\frac{d}{d\omega} A(w) = -\frac{1}{2m} \frac{2(\omega^2 - \sigma^2 - \omega_d^2)2\omega + 2(2\sigma\omega)2\sigma}{\Bigl(\sqrt{(\omega^2 - \sigma^2 - \omega_d^2)^2 + (2\sigma\omega)^2}\Bigr)^3} = 0$$

Die Lösung wird erhalten aus

$$2(\omega^2 - \sigma^2 - \omega_d^2)2\omega + 2(2\sigma\omega)2\sigma = 0$$

$$\omega^2 = \omega_d^2 - \sigma^2 = \omega_0^2 - \frac{\gamma^2}{2}$$

Daher ist die Systemverstärkung maximal für

$$\omega_r = \sqrt{\omega_d^2 - \sigma^2} = \sqrt{\omega_0^2 - \frac{\gamma^2}{2}} = \omega_0 \sqrt{1 - \frac{1}{2 Q^2}}$$

Die Resonanzfrequenz ist gleich$\omega_0$für High-Q-Oszillatoren. Zum Beispiel für$Q = 10$die Resonanzfrequenz ist$\omega_r = 0.9975 \cdot \omega_0$.

Die Systemverstärkung bei der Resonanzfrequenz ist

$$\Bigl. A(w) \Bigr|_{\omega=\omega_r} = \frac{1}{m} \frac{1}{2\sigma \omega_d} = \frac{1}{k} \frac{Q}{\sqrt{1 - \frac{1}{4Q^2}}}$$

Die Systemverstärkung ist proportional zum Q-Faktor.

Resonanzfrequenz, als die Menschen definieren$\omega_0$ist nicht die Frequenz mit maximaler Schwingung, https://youtu.be/Y_DmzZcQR7A Walter Lewin erklärt dies um 20:00 Uhr

$\omega_{max}$Ist.