Resonanzspitzenverbreiterung durch Verluste: physikalische Ursache

Um darüber im Zeitbereich nachzudenken, erwägen Sie, das System zu starten und zu beobachten, wie es sich entwickelt:

Kein Verlust: Die Antwort ist eine reine Frequenz$A \cos {\omega t}$

Bei Verlust gibt es eine exponentielle Dämpfung$A e^{-t/\tau} \cos {\omega t}$. Beachten Sie, dass es sich nicht um eine einzelne Frequenz handelt: Aufgrund des (unterschiedlichen) Abfalls von einem Zyklus zum nächsten liegen die frühen Spitzen etwas näher beieinander, effektiv bei einer höheren Frequenz. Der Frequenzgang wird durch das Abklingen verbreitert.

Ich würde Folgendes versuchen: Betrachten Sie es nicht als breitere Resonanz, sondern als weniger ausgeprägtes Verhalten des Systems. Oszillatoren mit geringerer Dämpfung haben lediglich ihre Resonanz genauer lokalisiert.

Studieren Sie diese Handlung in Wikipedia. Natürlich ist es nicht so, dass Verluste um die Resonanzfrequenz herum die Dinge verbessern könnten, sie machen es nur gleichmäßig schlechter, und daher wird ein weniger steiles Wachstum um die Resonanzfrequenz herum beobachtet.

Eine mögliche Erklärung könnte darin liegen, dass für wenig Verlust ein hoher Verlust gilt$Q$Schaltungen, die Empfindlichkeit der Impedanz auf die Abweichung der Frequenz von der Resonanzfrequenz, ist größer als bei hohen Verlusten, niedrig$Q$Schaltungen.

Als Ergebnis sind relative Änderungen der Spannungen und Ströme in verlustarmen Schaltungen ebenfalls größer und dementsprechend sind die Spitzen der Resonanzkurven, die verlustarmen Schaltungen zugeordnet sind, schärfer. Oder wir können sagen, dass die Spitzen, die mit den Resonanzkurven von Schaltungen mit hohen Verlusten verbunden sind, breiter sind.

Nehmen wir zwei RLC-Resonanzkreise, hoch$Q$und tief$Q$, mit identischen reaktiven Komponenten,$L$Und$C$, aber andere Widerstandskomponenten: niedrig,$r$, für das Hoch$Q$Schaltung und hoch,$R$, für das Tief$Q$Schaltkreis.

Bei einer Resonanzfrequenz sind die Impedanzen beider Schwingkreise hoch$Q$und tief$Q$, sind rein resistiv.

Wenn die Frequenz von der Resonanzfrequenz abweicht, wird die gleiche reaktive Komponente, kapazitiv oder induktiv (je nach Richtung der Frequenzänderung), zu den Impedanzen beider Kreise hinzugefügt, jedoch aufgrund eines geringeren Widerstands in der Höhe$Q$Schaltung würde diese reaktive Komponente im High dominanter werden$Q$Schaltung als im Tief$Q$Schaltung, was zu einer dramatischeren Änderung der Impedanz des Highs führt$Q$Schaltung (einschließlich Betrag und Phase).

Nehmen wir an, dass beide Schaltungen von derselben Wechselspannungsquelle angesteuert werden$V$.

Bei der Resonanzfrequenz$f_0$, werden die Impedanzen der beiden Kreise durch ihre Widerstände definiert,$Z_1=r$Und$Z_2=R$. Entsprechend werden die Ströme in den beiden Kreisen sein$I_1=V/r$Und$I_2=V/R$.

Steigt die Frequenz um$\Delta f$, wird die Impedanz der Induktivitäten die Impedanz der Kondensatoren in beiden Schaltungen beispielsweise um übersteigen$X$. Die Größenordnungen der neuen Impedanzen für das Hoch$Q$und tief$Q$Schaltungen werden$Z_1'=\sqrt {r^2+X^2}$Und$Z_2'=\sqrt {R^2+X^2}$, bzw.

Ein relativer Anstieg der Größe einer nicht resonanten Impedanz gegenüber einer resonanten Impedanz wird für das Hoch größer sein$Q$Schaltung als für die niedrige$Q$Schaltungen:

Dementsprechend wird eine relative Abnahme eines nicht resonanten Stroms gegenüber einem resonanten Strom für das Hoch größer sein$Q$Schaltung, was zu einer schärferen Resonanzkurve führt.

Der gleiche Effekt konnte für parallele RLC-Schaltungen demonstriert werden, außer dass in diesem Fall ein größerer Widerstand einen größeren ergibt$Q$.

Wenn wir als Beispiel einen Orgelpfeifen-Oszillator nehmen, wird der Grund dafür wie folgt deutlich.

Zunächst stellen wir uns vor, das Rohr schwinge ohne Verluste. Es hat in seinem Inneren stehende Wellen mit einer Geschwindigkeit von Null genau am geschlossenen Ende und einem Druck von Null genau am offenen Ende, und daher ist seine Resonanzwellenlänge genau auf die Rohrlänge bezogen.

Jetzt führen wir Verluste in das System ein. Hier verwenden wir den Strahlungswiderstand, dh Energieverluste aufgrund der Abstrahlung von Schallwellen aus dem offenen Ende des Rohrs und in die es umgebende Luft. Der Oszillator ist jetzt gedämpft.

Damit die im Inneren des Rohrs verbleibende Schallwelle Energie aus dem offenen Ende des Rohrs heraus verlieren kann, muss das offene Ende des Rohrs keinen Druck von Null haben, da sonst keine Druckwellen daraus austreten würden. Dies bedeutet, dass die Schallwelle beim "Kommunizieren" mit der Umgebungsluft leicht aus dem offenen Ende des Rohrs herausragt.

Das bedeutet, dass die Resonanzlänge der Luftmasse innerhalb des Rohres jetzt ein Luftpaket außerhalb des Rohres umfasst, das es schütteln muss, um Energie aus dem Rohr zu bewegen. Diese zusätzliche Masse lässt die Pfeife länger "aussehen" und senkt dadurch die ungedämpfte Eigenfrequenz der Pfeife und lässt sie "flach" spielen.

Sie haben Recht, wenn Sie sagen: "Die Erklärung sollte eher im Zeitbereich als im Frequenzbereich liegen". Nehmen Sie zum Beispiel ein ideales SHO im Ruhezustand und wenden Sie eine Resonanzkraft an$t=0$. Mit anderen Worten, bei$t=0$Sie fangen an, die Amplitude zu pumpen, die Antriebsfrequenz ist immer noch dieselbe. Die Amplitude wächst wie$t$- linear. Dann bei$t=\tau$Sie hören auf zu pumpen und lassen den Oszillator frei. Für jede endliche Beobachtungszeit$T$Das Systemspektrum enthält unterschiedliche Frequenzen, nur weil darin eine variable Amplitude vorhanden ist$0<t<T$. Nur wenn$T\gg\tau$Und$T\gg 2\pi/\omega_0$die anderen Frequenzen verschwinden. Pumpen (Gewinn) ist eine Art Gegenteil von Abklingen (Verlust); das gemeinsame Merkmal sind zeitliche Variationen der Oszillatoramplitude in beiden Fällen.

Der grundlegende harmonische Oszillator ist ein idealistisches Modell und geht von Linearität in den Differentialgleichungen aus, die ihn beschreiben. Jede Verbreiterung des Peaks für dieses Modell ist auf das Q des Systems zurückzuführen: wie viel Dämpfungskraft relativ zu den Trägheits- und Rückstellkräften vorhanden ist. Je höher das Q, desto schmaler der Peak.

Aber in tatsächlichen physikalischen Systemen, die sich dem Modell eines harmonischen Oszillators annähern, ist immer eine Nichtlinearität über der idealen linearen Harmonischen vorhanden. Die Nichtlinearität kann auch zu einer Verbreiterung des Peaks durch harmonische Verzerrung führen . Im Zeitbereich wird Verzerrung als Sinuswelle gesehen, die nicht ganz eine perfekte Sinuswelle ist.