Warum haben Objekte eine Resonanz bei Eigenfrequenz?

Was ist eigentlich eine Eigenfrequenz für ein Objekt und was lässt es mit erhöhter Amplitude schwingen, wenn es mit einem externen Oszillator gekoppelt wird, der der Eigenfrequenz entspricht?

Meine Frage ist anders. Ich möchte wissen, warum Objekte eine Eigenfrequenz haben? Warum ist diese bestimmte Frequenz für das Objekt so besonders? Ich frage nicht nach positiver oder negativer Arbeit, ich frage, warum das Objekt so an dieser Frequenz interessiert ist. Link mir eine solche Antwort. Vielen Dank im Voraus
Wenn Sie auf ein relativ festes Objekt schlagen, "klingelt" es - effektiv breitet sich eine Schockwelle von Ihrem Schlag auf das Objekt bis zum anderen Ende des Objekts und zurück aus, prallt dann vom nahen Ende ab und macht alles noch einmal. Die Rate, mit der es dies tut, ist seine Resonanzfrequenz. Wenn Sie ein stetiges Eingangssignal (z. B. von einem Lautsprecher) mit dieser Frequenz liefern, verstärkt jeder nachfolgende Impuls des Lautsprechers die hin- und hergehende Stoßwelle und sie wird stärker und stärker.

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Hier ist eine einfachere Antwort.

Bei Resonanz dreht sich alles um das Einfangen von Energie in ein System und seinen zyklischen Fluss zwischen potentiellen und kinetischen Zuständen. In mechanischen Systemen nennen wir diese Zustände potentielle Energie und kinetische Energie, aber in elektrischen Systemen, als weiteres Beispiel, zwischen magnetischen und elektrischen Feldern. Es ist die Rate dieses Hin- und Herpendelns, die die Eigenfrequenz ergibt.

Zum Beispiel nehmen die „singenden“ Aluminiumstäbe, die oft verwendet werden, um Stehwellenresonanz im Klassenzimmer zu demonstrieren, Energie von Ihren Fingern auf, wenn sie über die Außenseite des Stabs reiben. Die Energie erregt das Atomgitter, wodurch sich das Gitter mit der Rate der Eigenfrequenz ausdehnt, entspannt und zusammendrückt - die Geschwindigkeit, mit der sich Energie von einem vollständig potentiellen Zustand bewegt: wenn vollständig gedehnt oder komprimiert und bei der niedrigsten Geschwindigkeit zu einem vollständig kinetischen Zustand Zustand - auf halbem Weg zwischen Dehnung und Stauchung, wenn das Gitter maximale Geschwindigkeit hat. Wenn der Energiefluss nur geringe Verluste aufweist - zum Beispiel im Stab erzeugte Wärme -, dann sagen wir, dass der Energiefluss einen geringen Widerstand hat, und der Stab wird daher dazu neigen, mehr Energie aufzunehmen, als er verliert und aufrechterhält der Resonanzzustand.

Die Geschwindigkeit des Energieflusses ist abhängig von den Materialeigenschaften, aber auch von der jeweiligen Objektgeometrie. Wenn die Energieverlustrate des Objekts größer ist als die Energierate, die in das Objekt eintritt, wird das Radfahren „gedämpft“ und es fehlt daher an Resonanz.

Das ist Resonanz auf den Punkt gebracht.

Die Eigenfrequenz hängt von den physikalischen Eigenschaften eines Systems ab. Einige der klassischen Beispiele sind Massen, die an Federn und Pendeln befestigt sind. Für die erstere Klasse basiert das Grundmodell auf dem Hookeschen Gesetz, das in die Differentialgleichung (1D) übersetzt wird

M X ¨ + k X = 0 , M , k > 0
wo jede dissipative Wirkung vernachlässigt wurde. Teilen durch M bekommt man auch
X ¨ + ω 2 X = 0 ,
Wo ω 2 = k M ist das (Quadrat der) sogenannten Eigenfrequenz . Wie aus ihrem definierenden Ausdruck ersichtlich ist, hängt sie von den mechanischen Eigenschaften der beteiligten Objekte ab, nämlich von der Masse des Schwingkörpers M und die elastische Konstante der Feder k . Dies kann auf Systeme von Paaren von Oszillatoren verallgemeinert werden, die im Grunde Systeme von Paaren von Massen und Federn sind, und solche Abstraktionen werden verwendet, um komplizierte physikalische Systeme zu modellieren. Die allgemeinste Form ist dann so etwas wie
M X ¨ + K X = 0 ,
Wo X ∈ R N , Und M Und K sind positiv definit N × N Matrizen (Annahmen zu Ω 2 kann etwas abgeschwächt sein, aber ich werde dies hier ignorieren). Seit damals M invertierbar ist, kann man dieses System in die Form umschreiben
X ¨ + Ω 2 X = 0 ,
Wo Ω 2 (was an dieser Stelle ein Schreibfehler ist) ist die durch gegebene Matrix
Ω 2 = M − 1 K .
Das Problem wird "interessant", wenn M Und K pendeln, denn in diesem Fall Ω 2 , wie die Notation vermuten lässt, ist eine positiv definite Matrix, die diagonalisiert werden kann (physikalisch entspricht dies der Entkopplung der Oszillatoren), und die diagonalen Einträge sind wieder die Quadrate der Eigenfrequenzen des betrachteten Systems. Die Eigenvektoren (die in diesem Fall eine Orthonormalbasis bilden) geben die Richtung an, in der die Eigenschwingungen bei der entsprechenden Eigenfrequenz auftreten.

Wenn wir die Bedingung für die Kommutativität zwischen lockern M Und K eine Diagonalisierung könnte noch gelingen Ω 2 , aber dies könnte nicht positiv definit sein. In diesem Fall sind die Eigenvektoren jedoch im Allgemeinen nicht orthogonal zueinander (und dies geschieht in der Praxis), und daher stehen die natürlichen Moden nicht senkrecht zueinander.

Beachten Sie, dass wir auch die Änderung der Koordinaten durchführen können j = M 1 2 X , womit wir die neue Gleichung erhalten würden

j ¨ + M − 1 2 K M − 1 2 j = 0 ,
und nun Ω 2 = M − 1 2 K M 1 2 ist garantiert positiv definit, da es von der Form ist B T B , mit B = K 1 2 M − 1 2 .

Wenn die Kraftfrequenz gleich der Eigenfrequenz ist und die Verschiebungswelle die Kraftwelle um 90 Grad übersteigt, können Sie dies darstellen, wenn die Kraftwelle Kosinus und die Verschiebungswelle Sinus ist. Dies bedeutet, dass der schwingende Teil, wenn er den Höchstwert erreicht und dazu neigt, seine Geschwindigkeit nach unten zu ändern, dem Maximalwert der Kraft ausgesetzt ist und umgekehrt. Dies bedeutet, dass die Kraft die maximale Energie auf die Masse ausübt und die Verschiebung maximal ist. Wenn die Dämpfung nicht groß genug ist, überschreitet die Verschiebung die Höchstfestigkeitsgrenze des Materials und es kommt zum Versagen.

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