Mathematische Demonstration

Es ist leicht zu verstehen, warum dies geschieht, wenn Sie ein wenig Theorie der linearen Antwort verwenden. Betrachten Sie einen generischen gedämpften harmonischen Oszillator. Es gibt drei Kräfte, die Rückstellkraft$F_\text{restoring} = - k x(t)$, die Reibungskraft$F_\text{friction} = - \mu \dot{x}(t)$, und die treibende Kraft$F_\text{drive}(t)$. Das Newtonsche Gesetz sagt$F(t) = m \ddot{x}(t)$was gibt

$$-k x(t) - \mu \dot{x}(t) + F_\text{drive}(t) = m \ddot{x}(t) \, .$$ Dividieren durch durch $m$und definieren $\phi(t) \equiv x(t)/m$, $\omega_0^2 \equiv k/m$, $2 \beta \equiv \mu/m$, und $J(t) \equiv F_\text{drive}(t)/m$, wir bekommen $$\ddot{\phi}(t) + 2\beta \dot{\phi}(t) + \omega_0^2 \phi(t) = J(t) \, .$$ Dies ist eine schöne allgemeine Form des gedämpften getriebenen harmonischen Oszillators.

Schreiben$\phi(t)$als Fourier-Transformation

$$\phi(t) = \int_{-\infty}^\infty \frac{d\omega}{2\pi} \, \tilde{\phi}(\omega) e^{i \omega t}$$ und Einstecken in die Bewegungsgleichung, finden wir $$\left( - \omega^2 + i 2 \beta \omega + \omega_0^2 \right) = \tilde{J}(\omega)$$ was umgeschrieben werden kann als $$\tilde{\phi}(\omega) = - \frac{\tilde{J}(\omega)}{\left( \omega^2 - i 2 \beta \omega - \omega_0^2 \right)} \, .$$

Nehmen wir den Fall, wo der Antrieb ein Kosinus ist, dh$J(t) = A \cos(\Omega t)$. In diesem Fall$\tilde{J}(\omega) = (1/2)\left(\delta(\omega - \Omega) + \delta(\omega + \Omega) \right)$Also, wenn Sie alles ausarbeiten, finden Sie

$$\phi(t) = \Re \left[ - \frac{A e^{i \Omega t}}{\Omega^2 - i 2 \beta \Omega - \omega_0^2} \right] \, .$$ Das lässt sich leicht überprüfen $\phi(t)$hat die größte Amplitude, wenn $\Omega = \omega_0 \sqrt{1 - 2 (\beta / \omega_0)^2}$, die abnimmt als $\beta$erhöht sich. Erinnere dich daran $\beta$ist nur proportional zum Reibungskoeffizienten $\mu$Wir haben also gezeigt, dass mehr Reibung dazu führt, dass sich die Spitze zu niedrigeren Frequenzen bewegt.

Resonanz

Wir haben gezeigt, dass die Amplitude des Oszillators vom Dämpfungskoeffizienten abhängt. Dies bedeutet jedoch nicht , dass sich die Resonanz zu niedrigeren Frequenzen verschiebt. Resonanz ist ein Zustand , der durch einen unidirektionalen Energiefluss vom Antrieb zum System definiert ist. Es stellt sich heraus (leicht zu zeigen mit der Mathematik, die wir bereits gemacht haben), dass dies passiert, wenn$\Omega = \omega_0$, dh der Antrieb hat die gleiche Frequenz wie die ungedämpfte Schwingungsfrequenz. Es gibt bereits einen netten Beitrag zu diesem Thema , den ich zum Lesen empfehle.

Originelle Fragen

Warum passiert das?

Nun, wir haben mathematisch gezeigt, warum. Intuitiv liegt es daran, dass die Reibung kinetische Energie wegnimmt, sodass der Oszillator bei jedem Zyklus nicht so weit vom Gleichgewicht entfernt ist.

Und bedeutet dies, dass man bei höheren Dämpfungswerten keine höhere Amplitude erreichen kann, indem man die Periode der erzwungenen Schwingung gleich der Eigenfrequenz setzt?

Unter der Annahme einer konstanten Amplitude des Antriebs, ja.

Dies erscheint seltsam, da die höchste Amplitude erreicht wird, wenn die Eigenfrequenz gleich der Antriebsfrequenz ist. Aber ich denke, dass die Regeln für den Dämpfungsfall irgendwie anders sind.

In der Tat ändert die Dämpfung die Dinge ein wenig.

Andere Lektüre

• Schöner Beitrag zur Bedeutung von "Qualitätsfaktor" .

Ich werde versuchen, Ihre Frage konzeptionell zu beantworten, da die beteiligte Mathematik das Konzept tendenziell verschleiern würde. Bei einer Masse, die auf einer Feder in Luft auf und ab springt, ist das System fast vollständig ungedämpft, und die Feder schwingt mit einer Frequenz, die von der Federkonstante und der schwingenden Gesamtmasse abhängt. Wenn ich dasselbe System nehme und die Masse in eine Flüssigkeit wie Wasser platziere, wirken erhebliche Widerstandskräfte auf die Masse, und die Frequenz der Schwingung nimmt ab. Außerdem wird die Amplitude der Oszillationen aufgrund des Ausmaßes der beteiligten Dämpfung exponentiell abfallen.

Damit Resonanz auftritt, müsste ich das ungedämpfte oder gedämpfte System mit seiner Eigenfrequenz antreiben. Dabei würde die maximale Amplitude eines ungedämpften Systems tendenziell unbegrenzt ansteigen (es würde brechen), während die maximale Amplitude des gedämpften Systems durch die beteiligte Dämpfung begrenzt wäre, wobei eine größere Dämpfung zu einer kleineren maximalen Amplitude führt, weil Das Dämpfungsmittel dient dazu, die in das System eingebrachte Energie zu absorbieren. Dies bedeutet, dass die Höhe der maximalen Amplitude unter Resonanzbedingungen mit zunehmender Dämpfung zunehmend abnimmt und die zunehmenden Widerstandskräfte auch dazu führen, dass die Resonanzfrequenz abnimmt, wie in Ihrer Zeichnung gezeigt.

Mir ist klar, dass ein Feder-Masse-System ein super einfaches Beispiel ist, aber seien Sie versichert, dass die Mathematik, die zur Beschreibung dieses Systems verwendet wird, der Mathematik sehr ähnlich wäre, die zur Beschreibung vieler anderer Arten von oszillierenden Systemen verwendet wird. Bietet diese Erklärung ein ausreichendes konzeptionelles Verständnis, um Ihre Frage zu erklären?

1. Die Mathematik des unterdämpften Oszillators wird besonders hübsch, wenn wir einen komplexwertigen Positionsvektor verwenden$x$. [Dh der reale Teil${\rm Re}(x)$stellt die physikalische Position dar.] Nur Fourier-Transformation:

   $$\begin{align}\ddot{x}+2b\dot{x}+\omega_0^2 x~=~&f\cr\cr \text{Fourier transf. }& {\Updownarrow} \cr\cr -\overbrace{\underbrace{(\omega^2+2ib\omega -\omega_0^2)}_{P(\omega)=(\omega-\omega_+)(\omega-\omega_-)}}^{\text{characteristic polynomial}}\tilde{x}~=~&\tilde{f}.\end{align}\tag{1}$$

2. Nehmen wir in dieser Antwort an, dass der Oszillator unterdämpft ist , also das$\omega_0^2>b^2$. Die charakteristischen Frequenzen

   $$\omega_{\pm}~=~\pm\overbrace{\underbrace{\omega_{\rm ring}}_{\text{oscillatory}}}^{\text{real}}-\overbrace{\underbrace{ib}_{\text{exp. decay}}}^{\text{imaginary}}\tag{2}$$ sind die komplexen Frequenzen, die das System wählen würde, wenn es keine äußere Kraft gäbe$f$. Hier $$\omega_{\rm ring}~:=~\sqrt{\omega_0^2-b^2} \tag{3}$$ ist als Klingelfrequenz, Sinusfrequenz oder gedämpfte Eigenfrequenz bekannt.

3. Die Resonanzfrequenz _

   $$\omega_{\rm peak}~=~\sqrt{(\omega_0^2-2b^2)_+}~:=~\sqrt{\max(\omega_0^2-2b^2,0)}\tag{4}$$ ist der Minimalpunkt für den Absolutwert $$|P(\omega)|~=~\sqrt{(\omega^2-\omega^2_0)^2+4b^2\omega^2}, \qquad \omega \geq 0,\tag{5}$$ des charakteristischen Polynoms. Dies entspricht der maximalen Verstärkung (oder Spitzenübertragungsfähigkeit) des erzwungenen Oszillators.

4. Gehe der Einfachheit halber davon aus$\omega_0^2>2b^2$, so dass die Resonanzfrequenz$\omega_{\rm peak}>0$ist ungleich Null. Dann das Quadrat

   $$\omega_{\rm ring}^2~=~\omega_0^2-b^2\tag{6}$$ der Klingelfrequenz sitzt genau zwischen dem Quadrat $$\omega_{\rm peak}^2~=~\omega_0^2-2b^2\tag{7}$$ der Resonanzfrequenz und dem Quadrat$\omega_0^2$der ungedämpften Eigenfrequenz.

$$\begin{array}{rccc ccl} &--|--&--&--&--&--|-- \hspace{2ex} --|-- \hspace{2ex} --|--&--> \quad\omega^2\cr &0&&&&\omega_{\rm peak}^2 \hspace{7ex} \omega_{\rm ring}^2 \hspace{7ex} \omega_0^2&\cr &&&&& \underbrace{\hspace{11ex}}_{b^2} \underbrace{\hspace{11ex}}_{b^2} &\end{array}$$ $\uparrow$Abb. 1: Die Resonanzfrequenz$\omega_{\rm peak}$und die Klingelfrequenz$\omega_{\rm ring}$mit zunehmender Reibung abnehmen$b$.

5. Kommen wir nun zur Frage von OP zurück:

   Warum verschiebt sich die Spitze mit zunehmender Dämpfung zu niedrigeren Frequenzen?

   Antwort: OP fragt im Wesentlichen nach Intuition hinter dem negativen Koeffizienten davor$b^2$in Gl. (7). Hier ein Argument: Es ist intuitiv, dass sich die Resonanzfrequenz (7) und die Nachschwingfrequenz (6) bei wachsender Reibung in die gleiche Richtung verschieben würden$b$, dh es ist intuitiv, dass die Zeichen vor$b^2$in Gl. (6) und (7) sind gleich. Darüber hinaus ist der negative Koeffizient vor$b^2$in Gl. (6) hat eine physikalische Bedeutung: Wenn wir die Reibung erhöhen$b$, wird der Oszillator irgendwann mit rein imaginären Eigenfrequenzen überdämpft (2). Dieser Übergang geschieht nur, wenn der Koeffizient vor$b^2$ist negativ, was die Frage von OP beantwortet.

Sie haben bereits eine gute mathematische Antwort, also werde ich mich auf eine Antwort konzentrieren, die fast keine Gleichungen enthält.

Ich nehme an, Sie verstehen die grundlegende Mathematik des einfachen harmonischen Oszillators.

Wenn Sie Dämpfung hinzufügen, hängt die Menge an Energie, die Sie pro Zyklus verlieren, von der Geschwindigkeit ab: Je schneller Sie fahren, desto mehr Energie verlieren Sie (bei gleicher Amplitude), da die Kraft mit skaliert$k\dot{x}$.

Natürlich ist die Geschwindigkeit proportional zur Frequenz - ein Oszillator, der mit einer höheren Frequenz betrieben wird, verliert also mehr Energie pro Zyklus als ein Oszillator, der mit einer niedrigeren Frequenz betrieben wird.

Andererseits erfolgt die beste Energieeinkopplung in das System, wenn die Antriebskraft genau um 90 Grad phasenverschoben zur Amplitude ist (also die Kraft in Phase mit der Geschwindigkeit ist) - was bei der ungedämpften Resonanzfrequenz geschieht.

Wenn Sie die Dämpfung erhöhen, beginnt der Faktor „mehr Energieverlust pro Zyklus“ den Faktor „mehr eingekoppelte Energie pro Zyklus“ zu übertreffen. Und das bedeutet, dass sich die größte Antwortamplitude zu niedrigeren Frequenzen verschiebt.

Aber ich denke, dass die Regeln für den Dämpfungsfall irgendwie anders sind.

In beiden Fällen sind die Ergebnisse die Lösungen der (Differential-)Bewegungsgleichungen. Beim angetriebenen, ungedämpften Oszillator:

$$m\frac{d^2 x}{dt^2}+kx=F_0\cos(\omega t + \phi_d)$$

$\omega$ist die Winkelgeschwindigkeit der Antriebskraft. Wenn Sie es lösen, erhalten Sie das Ergebnis in Ihrem Diagramm.

Quelle.