Wie definiert man die Resonanzfrequenz eines zwangsgedämpften Oszillators?

Betrachten Sie einen erzwungenen, gedämpften harmonischen Oszillator

(1) ϕ ¨ + 2 β ϕ ˙ + ω 0 2 ϕ = j ( t ) .

Wenn ich eine sinusförmige Antriebskraft wähle j ( t ) = EIN cos ⁡ ( Ω t ) , Ich finde

(2) ϕ ( t ) = Betreff [ e − ich Ω t − EIN Ω 2 − ω 0 2 + 2 ich β Ω ] .

Wie definiere ich von hier aus die "Resonanz" ? Ist es der Punkt wo ⟨ ϕ ( t ) 2 ⟩ ist maximiert?

Dinge, die ich weiß: Die Häufigkeit, mit der ⟨ ϕ ( t ) 2 ⟩ maximiert ist

(3) ω r   :=   ω 0 1 − 2 ( β / ω 0 ) 2 ,
aber ich dachte, ich hätte gelesen/gehört, dass die Resonanzfrequenz eines gedämpften Oszillators gerade ist ω 0 .

Ich habe auch berechnet, dass die freie Schwingungsfrequenz ist

(4) ω frei   :=   ω 0 1 − ( β / ω 0 ) 2 ,
aber ich glaube nicht, dass das dasselbe ist wie die Resonanzfrequenz bei konstanter Fahrt.

Ich habe die Begriffe reine Resonanz und praktische Resonanz gehört, die verwendet werden, um sie zu beschreiben ω 0 bzw. das Frequenzmaximum der Amplitude. Ein schnelles Google schlägt vor, dass diese Begriffe weit verbreitet sind.
@JohnRennie Interessant! "Weit verbreitet" ist so eine rätselhafte Sache: Ich habe noch nie "praktische Resonanz" gehört, und die meiste Zeit meiner täglichen Arbeit besteht darin, Dinge auf die eine oder andere Weise in Resonanz zu bringen. Es ist schade, dass wir keine Möglichkeit haben, einen Cron-Job auszuführen, um sicherzustellen, dass die Verwendung der Terminologie von allen täglich einheitlich ist.

Antworten (2)

Wie definiere ich von hier aus die "Resonanz"?

Bei Resonanz ist der Energiefluss von der Antriebsquelle unidirektional, dh das System nimmt über den gesamten Zyklus Energie auf.

Wann Ω = ω 0 , wir haben

ϕ ( t ) = EIN 2 β ω 0 Sünde ⁡ ω 0 t

daher

ϕ ˙ ( t ) = EIN 2 β cos ⁡ ω 0 t

Die Macht P pro Masseneinheit, die von der Antriebskraft geliefert wird, ist dann

P m = j ( t ) ⋅ ϕ ˙ ( t ) = EIN 2 2 β cos 2 ⁡ ω 0 t = EIN 2 4 β [ 1 + cos ⁡ 2 ω 0 t ] ≥ 0

Wann Ω ≠ ω 0 Die Leistung wird über einen Teil des Zyklus negativ sein, wenn das System an der Quelle arbeitet.

Was Sie als gekennzeichnet haben ω r ist die gedämpfte Resonanzfrequenz oder Resonanzspitzenfrequenz .

Unqualifiziert bezieht sich der Begriff Resonanzfrequenz üblicherweise darauf ω 0 , die ungedämpfte Resonanzfrequenz oder ungedämpfte Eigenfrequenz .

Das ist ziemlich nützlich. Im Fall des elektrischen Oszillators ist die unidirektionale Leistungsflussbedingung gerade dann gegeben, wenn die Impedanz des Resonators rein reell ist. Vielen Dank.

Verwirrung kann entstehen, weil die Verwendung des Wortes Resonanz oft zwischen mechanischen Systemen und elektrischen Systemen unterschiedlich ist.

Bei mechanischen Systemen ist es oft so, dass Wegresonanzen berücksichtigt werden und die Frequenz der Wegresonanz mit zunehmender Dämpfung abnimmt.
Dies ist die in Ihrer Gleichung (3) angegebene Frequenzabhängigkeit.

Bei elektrischen Systemen, z. B. einer Reihen-LCR-Schaltung, ist die häufig gemessene Größe der Strom und die Frequenz, bei der Stromresonanz auftritt, ist die Eigenfrequenz der ungedämpften Schwingungen des Systems ω 0 und als solche ändert sich die Frequenz für die Stromresonanz nicht mit der Dämpfung.

Für ein mechanisches System ist Stromresonanz Geschwindigkeits- und Leistungsresonanz und für ein elektrisches Reihen-LCR-System ist Verschiebungsresonanz Ladungsresonanz.

In naturwissenschaftlichen und technischen Studiengängen, in denen mechanische und elektrische erzwungene Schwingungen zuerst besprochen werden, wird für einige mechanische Systeme die Verschiebungsresonanz bevorzugt, weil es einfacher ist, eine Entfernung als eine Geschwindigkeit zu messen, und für einige elektrische Systeme wird die Stromresonanz bevorzugt, weil es einfacher ist, einen Strom zu messen als eine Gebühr.

Wechseln die Rollen von Strom/Ladung/Spannung/usw. nicht die Plätze, je nachdem, ob der elektrische Oszillator parallel oder in Reihe geschaltet ist?
@DanielSank Ich wusste, dass der Teufel im Detail steckt. Ich wollte nur darauf hinweisen, dass Resonanz von verschiedenen Lehrern/Dozenten/Tutoren auf unterschiedliche Weise definiert wird, und dies ist vielleicht die Quelle der Verwirrung. Je realistischer und detaillierter die betrachteten Systeme behandelt werden, desto klarer wird die genaue Art der Resonanz angegeben. Ich muss gestehen, dass ich keine Definition von Resonanz kenne, die von der Mehrheit der Physiker/Mathematiker/Ingenieure akzeptiert wird.
Wie definiert man die Resonanzfrequenz eines zwangsgedämpften Oszillators?
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