Warum sind bei einem gedämpften Oszillator die Resonanzfrequenzen für Weg, Geschwindigkeit und Beschleunigung unterschiedlich?

Es kann einfacher sein, darüber im Frequenzbereich nachzudenken.

$x''(t) + \gamma x'(t)+ \omega_0^2 x(t) = F(t)$verwandelt sich in$-\omega^2X(\omega) + \gamma j \omega X(\omega)+\omega_0^2 X(\omega) = F(\omega)$

was die bekannte Übertragungsfunktionsform ergibt$X(\omega) = F(\omega)/(\omega_0^2 + \gamma j \omega - \omega^2 )$

Die Resonanz wird normalerweise als der Punkt definiert, an dem sich der erste und der letzte Term im Dämoninator aufheben, dh$\omega=\omega_0$. Dies ist jedoch nicht notwendigerweise der Höhepunkt der Reaktion. Die Spitze der Antwort hängt davon ab, was Sie messen. Wie Sie sagen, Amplitude$X(\omega)$, Spitzen bei der niedrigsten Frequenz und dann aufeinanderfolgende Ableitungen (Geschwindigkeit$j\omega X(\omega)$, Beschleunigung$-\omega^2 X(\omega)$, Ruck$-j\omega^3 X(\omega)$usw.) wegen der sukzessiven Multiplikationen mit dem linearen Frequenzfaktor bei zunehmend höheren Frequenzen spitzen$j\omega$.
Die Quintessenz ist, dass die Resonanz bei ist$\omega = \omega_0$, aber wo die Reaktion ihren Höhepunkt erreicht, hängt davon ab, welche bestimmte Eigenschaft Sie messen.

[Bearbeiten] Die Frage "Warum hat die potenzielle Energie ihren Höhepunkt bei einer niedrigeren Frequenz als die kinetische Energie?" ist eine gute Möglichkeit, die Frage zu formulieren.
Der Energieverlustmechanismus im System ist ein linearer Dämpfungsterm proportional zur Geschwindigkeit . Die kinetische Energie erreicht also eine Spitze, wenn der Energieverlust (Verlustleistung) eine Spitze erreicht. Dies gilt jedoch nicht für die potentielle Energie. Die potenzielle Energie erreicht eine Spitze bei einer etwas niedrigeren Frequenz, wo es immer noch eine große „Vergrößerung“ von der Resonanz gibt, aber wo die Geschwindigkeit etwas niedriger ist und somit etwas weniger Energie durch Dissipation verloren geht.

Ich denke, Sie verwenden den Begriff „Resonanz“ in einer völlig ungewöhnlichen und sehr persönlichen Bedeutung.

Was ich aus den von Ihnen geschriebenen Ausdrücken verstehe, ist Ihre Frage, dass Sie "Resonanz" den Wert der Frequenz nennen, für die eine bestimmte Größe für eine bestimmte Eingabe maximal ist.

Wenn Ihre eigentliche Frage lautet, warum die Beschleunigungsspitze eine höhere Frequenz hat als die Geschwindigkeitsspitze , die selbst eine höhere Frequenz als die Verschiebungsspitze hat , gibt Roger Wood die Antwort:

Wie Sie betonen, erreichen Amplitude 𝑋(𝜔), Spitzenwerte bei der niedrigsten Frequenz und dann aufeinanderfolgende Ableitungen (Geschwindigkeit 𝑗𝜔𝑋(𝜔), Beschleunigung −𝜔2𝑋(𝜔), Ruck −𝑗𝜔3𝑋(𝜔) usw.) Spitzenwerte bei immer höheren Frequenzen, weil der aufeinanderfolgenden Multiplikationen mit dem linearen Frequenzfaktor 𝑗𝜔.

Aber die einzige "Resonanz" ist bei$\omega=\omega_0$. Die übliche Definition eines Wortes zu ändern, ist im Allgemeinen eine schlechte Idee.

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BEARBEITEN

Um die vollkommen korrekte Antwort von Roger Wood in eine "intuitivere" umzuwandeln:

Die maximale Amplitude der Verschiebung für eine gegebene Antriebskraft liegt bei einer bestimmten Frequenz (die zufällig gerade darunter liegt$\omega_0$, aber diese Bemerkung ist für das Folgende irrelevant). Da es sich um ein Maximum handelt, ist die Steigung Null. Wenn Sie die Frequenz auch nur geringfügig erhöhen, nimmt die Reaktion sehr, sehr langsam ab, da es keine Abwärtsneigung gibt , sondern nur eine Abwärtskrümmung, was bedeutet, dass Sie die Abwärtsneigung aufbauen müssen, indem Sie wegkommen, bevor sie "ernsthaft" abfällt. Die Amplitude der Geschwindigkeit ist die Amplitude der Verschiebung multipliziert mit$\omega$. Wenn Sie erhöhen$\omega$noch so geringfügig, das Produkt von (Verschiebungszeiten$\omega$) steigt aufgrund der Erhöhung um fast den gleichen Betrag „ganz leicht“.$\omega$, da sich die Abnahme der Amplitude der Verschiebung noch nicht aufgebaut hat .

Sie sehen also, dass die Amplitude der Geschwindigkeit immer noch an der "Spitze" der Amplitude der Verschiebung zunimmt. Bald genug baut sich die Abnahme der Amplitude der Verschiebung auf und dominiert die Zunahme aufgrund der Multiplikation mit$\omega$, und Sie erreichen das Maximum der Geschwindigkeit für eine etwas höhere$\omega$(was zufällig gerecht ist$\omega_0$aber das ist nicht wichtig.

Wiederholen Sie genau dieselbe Überlegung, und Sie werden sehen, dass das Maximum der Beschleunigung immer noch bei einer etwas höheren Frequenz liegt.

EDIT 2 als Antwort auf deine Bearbeitung 2

Was Sie "maximale Leistungsaufnahme" nennen und was ich als "maximale Dissipation" bezeichnen würde, wird bei maximaler Geschwindigkeit erreicht , da die Geschwindigkeit die Dissipation verursacht , nicht die potentielle Energie.

Aus genau dem Grund, den ich in meiner ersten Bearbeitung angegeben habe, wird die maximale Geschwindigkeit nicht bei maximaler Auslenkungsamplitude (die maximale potenzielle Energie ist) erreicht, sondern bei einer geringfügig (für schwache Dämpfung) höheren Frequenz.

BEARBEITEN 3

Als Reaktion auf Farchers Kommentar: Ich hatte angenommen, Sie hätten einen Stromkreis in Betracht gezogen. Deshalb habe ich gesagt, dass die übliche Definition von Resonanz so ist$\omega=\omega_0$, maximale Geschwindigkeit.

Für die Mechanik ist die übliche Definition von Resonanz in der Tat die maximale Auslenkung. Dies ist in der Tat eine Inkonsistenz, die einer alten historischen Situation geschuldet ist.

Aber mein Punkt ist, dass es in einer bestimmten Umgebung, ob Mechanik oder Elektrizität, eine übliche Definition von Resonanz gibt. Halten Sie sich also an die übliche Definition in dieser Umgebung, mit der Sie es zu tun haben, auch wenn es eine andere übliche Definition für eine andere Umgebung gibt.

Ich denke, dass die Verwirrung, die ich habe, von der einfachen Frage herrührt: Warum führt die Frequenz, die eine maximale Leistungsaufnahme erzeugt (ω = ω0, wenn die Antriebskraft in Phase mit der Geschwindigkeit ist), nicht zu einem Maximum der potentiellen Energie (dh Spitze im Amplitudengang) des Oszillators?

Das ist genau der Grund für deine Verwirrung. Der eindimensionale (gedämpfte) harmonische Oszillator hat einen zweidimensionalen Phasenraum, dh Ort und Geschwindigkeit (genauer gesagt: Impuls) sind statisch völlig unabhängig voneinander. Sie sind nur dynamisch gekoppelt.

Während die elastische Energie des Federelements (die Sie als "die" potentielle Energie bezeichnen, obwohl sie eine Eigenschaft der Feder dieses nicht konservierten Systems ist) nur eine Funktion der Position ist, ist die Verlustleistung nur eine Funktion der Geschwindigkeit (für die gegebene Anregungskraft).

Ebenso wie die zugrunde liegenden Phasenraum-Freiheitsgrade$x$Und$v$(lesen:$p$) sind zu jedem Zeitpunkt unabhängig voneinander$t$, potentielle Energie und Verlustleistung sind jeweils unabhängige Größen$t$.

Die richtige Frage sollte also lauten:

warum sollten überhaupt potentielle Energie und Verlustleistung in genau dem richtigen Verhältnis stehen, um ihre Anregungsmaxima unter sinusförmiger Kraft bei genau gleicher Frequenz anzunehmen?

Nach einer Intuition zu fragen, warum sie sich nicht so verhalten, ist in gewisser Weise wie nach einer Intuition zu fragen, warum es keine Feen und Elfen gibt. Zumindest solange Sie keine gute Erklärung für Ihre Gegenintuition liefern, dass es Feen und Elfen eigentlich geben sollte...

Sie müssen die Eigenfrequenz absorbieren$\omega_0$in die Zeiteinheiten und vertreibe sie aus$\gamma =2\zeta \omega_0$, nicht-dimensionalisierend. So erhalten Sie am Ende die komplexe Standardform .

$$\ddot{x} + 2\zeta \dot{x} + x = e^{i\omega t}.$$ Nun stellt sich heraus, dass ζ die halbe Breite der Resonanzkurve ist.

Zunächst muss die maximale Amplitude der Verschiebung bei einer Frequenz kleiner als die natürliche ungedämpfte Frequenz liegen, hier 1, da Sie Energie in das System pumpen/auffüllen, indem Sie seinen Zyklus verlängern, dh es am Punkt der minimalen Kinetik länger strecken Energie. Für eine optimale Kopplung geht die Geschwindigkeit durch Null und wechselt das Vorzeichen etwas früher als die treibende Kraft. (Manche Leute lernen etwas daraus . )

Die Verschiebungsamplitude ist also maximal bei$\omega_d=\sqrt{1-2\zeta^2}<1$, und die abgeführte und absorbierte Leistung ist$\propto \omega^2 A_d^2= A_v^2$. Wenn das System nicht bedämpft wäre, würde der Verschiebungsverstärker bei divergieren$\omega=1$.

Der Hubraumverstärker wird dann direkt im WP-Link ausgearbeitet

$$A_d= {1\over \omega \sqrt{(\omega -1/\omega)^2+ 4\zeta^2}} \propto {1\over \sqrt{(\omega^2 -(1-2\zeta^2))^2 + O(\zeta^4) }} .$$

Die drei Ampere als Funktionen von ω stehen in Beziehung zueinander, und daher auch ihre unterschiedlichen Maximierungsfrequenzen.

Beachten Sie, dass der Beschleunigungsverstärker ist$A_a=-\omega^2 A_d$und der rechtwinklig phasengesteuerte Geschwindigkeitsverstärker ist$A_v= \omega A_d$, somit

$$|A_d ~ A_a|= |A_v|^2,$$ während $$A_v(\omega)= A_v(1/\omega)= ((\omega -1/\omega)^2+ 4\zeta^2)^{-1/2}$$ Spitzen bei$\omega=1$, durch einfache Betrachtung des Obigen.

Ich habe keine "physische Intuition" für

$$A_a(\zeta, \omega) = A_d (\zeta, 1/\omega)$$ was bei Betrachtung Ihre jeweiligen Resonanzfrequenzen ergibt, da die Verschiebung maximal phasenverschoben zur Beschleunigung ist (und daher eine ihr Minimum erreicht, wenn die andere ihr Maximum erreicht und umgekehrt).

Es zeigt sich an der$\omega \to 1/\omega$Symmetrie, dass die Resonanzfrequenzen dann als Funktionen zueinander invers sind$\zeta$. Die Formeln sind so herrlich eloquenter als physische "Geschichten", hier ...

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Nachtrag

Wenn Sie sich mutig an F. Crawfords Buch Waves (Berkeley Physics Course, Vol. 3) ISBN-13:978-0070048607 gewagt haben, um die gesamte Eingangsleistung, die durch Reibung dissipierte Leistung und die Zeitmittelwerte der gespeicherten Energie zu überwachen, können Sie in Abschnitt 3.2 in die Tiefe gehen; In dieser Sprache würden Sie direkt die durchschnittliche Eingangsleistung (und notwendigerweise die durch Reibung abgeführte) Leistung berechnen

$$\langle P\rangle = \frac{\zeta \omega^2}{(1-\omega)^2 + 4\zeta ^2 \omega^2} ~~,\tag{21}$$ Spitzenwert bei ω=1 , wie die Geschwindigkeit; und weiter die gespeicherte Energie, Summierung von kinetischen und potentiellen Termen, $$\langle E \rangle =\tfrac{1}{4}\frac{\omega^2 +1}{(\omega^2-1)^2+4\zeta^2 \omega^2 } ~. \tag{23}$$ Bei ω=1 hängen die beiden einfach zusammen.

Ich denke, dass die Verwirrung, die ich habe, von der einfachen Frage herrührt: Warum führt die Frequenz, die eine maximale Leistungsaufnahme erzeugt (ω = ω0, wenn die Antriebskraft in Phase mit der Geschwindigkeit ist), nicht zu einem Maximum der potentiellen Energie (dh Spitze im Amplitudengang) des Oszillators?

Intuitiv liegt es daran, dass das Vorhandensein von Dämpfung die Umwandlung von kinetischer Energie in potentielle Energie nicht perfekt macht. Was ich meine ist folgendes:

1. Wenn da keine Dämpfung wäre$\omega_{dis} = \omega_{vel}$, was Sie nicht nur durch Einsetzen in die Gleichung erkennen können, sondern auch daran, dass keine Energie verloren geht, also kinetische Energie in potentielle Energie umgewandelt wird und umgekehrt, wenn das System schwingt. Wenn Sie aus diesem Grund die maximale Verschiebung erhalten möchten, können Sie dies durch Einstellen erreichen$\omega = \omega_0$weil dies die maximale Geschwindigkeitsamplitude ergibt, die wiederum die maximale Verschiebungsamplitude ergibt.

2. Wenn es eine Dämpfung gibt und Sie immer noch den maximalen Hubraum erhalten möchten, funktioniert die vorherige Argumentation nicht mehr. Aufgrund der Dämpfung wird Energie dissipiert, und außerdem ist diese Dämpfung proportional zur Geschwindigkeit. Stellen Sie sich also vor, Sie versuchen, dasselbe wie zuvor zu tun, und legen Sie fest$\omega = \omega_0$, um die maximale Amplitude der Geschwindigkeit zu erhalten, und sagen wir, dass wir über eine Masse sprechen, die horizontal an einer Feder befestigt ist, um nur ein einfaches Beispiel zu nennen. Zu einem bestimmten Zeitpunkt hat die Masse die maximale kinetische Energie und ist "groß" (wiederum, weil$\omega = \omega_0$), aber auch die Dämpfung ist groß (ist proportional zu$v$) und Sie haben daher wenig Effizienz bei der Umwandlung von kinetischer Energie in potenzielle Energie. Dies bedeutet, dass Sie nicht die größtmögliche Amplitude der potenziellen Energie oder äquivalent der Verschiebung haben werden. Was können Sie dagegen tun? Verbessern Sie die Effizienz. Wie? Verringern der Dämpfung, und dies können Sie daher mit weniger Geschwindigkeit erreichen$\omega \neq \omega_0$was erklärt, warum die$\omega$die sind anders.

   Natürlich gibt es einen Kompromiss: Sie können die Amplitude nicht zu stark verringern$v$, denn obwohl Sie einen sehr guten Wirkungsgrad bei der Umwandlung von kinetischer Energie in potenzielle Energie erhalten, haben Sie nicht zu viel kinetische Energie zum Umwandeln!