Nicht resonante, aber effiziente Frequenzen

Dies ist ein subtiles Problem! Ihre Intuition ist richtig (ein Fahren bei$f_0/2$sollte sehr effektiv sein), auch wenn die Grafik dem zu widersprechen scheint. Der Grund dafür ist, dass der Graph die Antwort auf eine sinusförmige Antriebskraft darstellt. Wenn Sie die Masse tatsächlich sinusförmig mit Frequenz gefahren haben$f_0/2$, es wäre in der Tat unwirksam - Sie würden die Masse festhalten und versuchen, sie halb so schnell zu machen, wie sie gehen möchte.

Sie schlagen jedoch Kräfte vor, die wie scharfe Impulse aussehen, wobei die Impulse mit einer Frequenz kommen$f$. Eine solche Kraft hat tatsächlich eine unendliche Anzahl von Harmonischen bei Frequenzen$f$,$2f$,$3f$, und so weiter, also ist es gewissermaßen gleichbedeutend damit, mit unendlich vielen Sinuskurven gleichzeitig zu fahren.

Um den Grund intuitiv zu verstehen, stellen Sie sich vor, jemanden ein paar Mal pro Sekunde klatschen zu hören. Da die Frequenz des Klatschens ziemlich niedrig ist, könnten Sie denken, dass es in der Tonhöhe niedrig klingen würde, aber es klingt tatsächlich ziemlich hoch – wegen der vielen Obertöne, die bei jedem einzelnen Klatschen erzeugt werden.

Es sind diese Harmonischen, auf die die Masse hört, wenn Sie mit einer Frequenz fahren$f_0/n$. Die Masse reagiert am empfindlichsten auf die$n^\text{th}$harmonisch, weil sie die Resonanzfrequenz hat$n(f_0/n) = f_0$. Eine genauere Analyse (dh Nehmen der Fourier-Transformation eines wiederholten kurzen Rechteckimpulses) zeigt, dass mit Impulsen bei Frequenz gefahren wird$f_0/n$ist fast genauso effektiv wie das Fahren mit Impulsen mit Frequenz$f_0$, solange die Dämpfung gering und die Impulse ausreichend kurz sind.

Zuerst werde ich versuchen zu erklären, warum das Amplitude-Frequenz-Diagramm nur ein Maximum hat, dann werde ich darauf zurückkommen, warum dies Ihrer Intuition zu widersprechen scheint.

Nehmen wir die einfachste erzwungene Oszillatorformel ohne Dämpfung (dies wird unsere Schlussfolgerung nicht beeinflussen), zum Beispiel die einer Feder, die einer Kraft ausgesetzt ist$F$:

$$\begin{equation} x''(t) + \omega_0^2 x(t) = F(t) \end{equation}$$

Nehmen wir das an$F = F_0 e^{i\omega t}$. Versuchen wir nun eine Lösung des Formulars$x(t) = Ae^{i\omega t}$. Indem wir diese Ausdrücke in die Gleichung einfügen, finden wir (nachdem wir beide Seiten durch ausgetaucht haben$e^{i\omega t}$):

$$\begin{equation} -\omega^2 A +\omega_0^2 A = F_0 \end{equation}$$

Und schlussendlich :

$$\begin{equation} A = \dfrac{F_0}{\omega_0^2-\omega^2} \end{equation}$$

Es ist klar, dass die Amplitude$A(\omega)$hat nur ein Maximum bei$\omega_0$und das ist es. Es gibt nichts Besonderes mit den Pulsationen$\omega_n = \omega_0 / n$wo$n$ist eine beliebige ganze Zahl. Natürlich gibt es Resonanzvorrichtungen, bei denen diese Moden ebenfalls resonant sind - dies ist beispielsweise bei einigen Hohlräumen der Fall, bei denen Resonanzmoden solche sind, bei denen reflektierte Wellen konstruktiv interferieren, was passieren kann, wenn sie auftreten$n$Perioden, um von einer Seite des Hohlraums zur anderen zu reisen. Aber bei einer linearen Feder oder einem Pendel gibt es keinen solchen Effekt.

Dies gilt nun für eine Kraft$F$des Formulars$e^{i\omega t}$, was sehr spezifisch ist: Dies bedeutet eine sinusförmige Pulsationskraft$\omega$.

In Ihrem Experiment jedoch$F$sieht nicht aus wie eine Sinuskurve. Es wird eher auf einen scharfen Impuls, der als Dirac-Funktion bekannt ist, hingewiesen$\delta$:$F(t) = \delta(t)$. Jetzt ist die vorherige Analyse immer noch wertvoll, weil jede vernünftige Funktion$F$hat, was wir eine Fourier-Transformation nennen$\tilde{F}$so dass :

$$\begin{equation} F(t) = \int \tilde{F}(\omega) e^{i\omega t} d\omega \end{equation}$$ Dies bedeutet, dass eine Funktion $F$kann als Summe von Sinuskurven dargestellt werden. Dies ist sehr hilfreich, da die Bewegungsgleichung im Fourier-Raum geschrieben eine sehr einfache Form annimmt: $$\begin{equation} \tilde{x}(\omega) = \dfrac{\tilde{F}(\omega)}{\omega_0^2 - \omega^2} \end{equation}$$

Jetzt, wenn$F(t) \simeq \delta (t)$(d.h. es wird sehr hoch geschätzt$t=0$wenn der Impuls ausgeübt wird und sonst 0), ist die Fourier-Transformation eine konstante Funktion. Das bedeutet, dass ein sehr kurzer Impuls jede Frequenz enthält, einschließlich der Resonanzfrequenz. Also am Ende, da$\tilde{F}(\omega) = cst = F_0$:

$$\begin{equation} x(t) \sim F_0 \int \dfrac{e^{i\omega t}}{\omega_0^2 - \omega^2} d\omega \end{equation}$$ Es ist sehr klar, dass die Frequenzen um die Resonanzfrequenz herum dominieren, und wir haben ungefähr: $$\begin{equation} x(t) \propto e^{i\omega_0 t} \end{equation}$$

Weil also ein Impuls jede Frequenz „enthält“, enthält er letztlich auch die Resonanzfrequenz, deren Wirkung dominiert.

Die Details, die sie nicht in Physiklehrbücher schreiben, aber die Sie wahrscheinlich aus der Erfahrung der Ingenieure lernen, sind, dass Resonanz nicht nur von der internen Struktur des Systems abhängt, sondern auch davon, wie Energie ein- und ausfließt. Ein Resonanzsystem neigt dazu , Energie einzufangen , und diese Energie kann notwendigerweise bei der Resonanzfrequenz des Systems zulässig sein oder nicht. Es kommt auf die innere Struktur an.

Obwohl das üblichere Mittel zur Energieübertragung für einen Schwung ein zyklisches Drücken in eine Richtung ist, ist es auch möglich, dass eine Person davor auch einen Stoß ausführt, so dass die Rate des Energieeintrags in das System verdoppelt wird. Jeder Eingang hat die gleiche Amplitude, aber um 180 Grad phasenverschoben zueinander. Sie zeigen nur den Amplitudenfrequenzgang Ihres Schwingsystems (Pendels), aber es gibt auch eine Phasenkomponente, und dies veranschaulicht, wie der 180-Grad-Phasenverschiebungsschub funktioniert. Das nachstehende Phasendiagramm zeigt, dass bei einer Annäherung von einer niedrigeren Frequenz das Phasensignal nahe null Grad zulässig ist und eine Annäherung von einer hohen Frequenz 180 Grad. Die Phasenänderung über die Resonanz hinweg ist sehr scharf, wenn das System einen hohen Q aufweist (sehr geringe Dämpfung, sehr geringer Energieverlust).

Aus praktischen Gründen hängt das Schaukelsystem von den Lagern und Widerstandskräften der Schaukel an einem bestimmten Punkt ab, um einen Energiefluss zu erreichen, der gleich und entgegengesetzt zu der Rate des Energieeintrags durch den Stoß ist. Andernfalls wird der Swinger schließlich über die Spitze schleifen! Im Prinzip bedeutet Nulldämpfung für lineare Systeme, dass die gesamte in das System eintretende Energie dort bleibt und die Resonanzspitze sich einer unendlichen Amplitude nähert. Aber für praktische, reale Systeme gibt es Nichtlinearitäten, die das Einfangen von Energie begrenzen. Energie hat die Tendenz, einen Ausweg zu finden und manchmal das System zu durchbrechen (wie der Einsturz der Tacoma Narrows Bridge).

Für das Swing-System ist die Struktur so, dass Energierate und Phase (im Fall von zwei Personen, die drücken) spezifisch sein müssen, aber das gilt nicht unbedingt für alle Resonanzsysteme. Denken Sie an die Singrute , die oft in Physikdemos zum Thema Resonanz verwendet wird. Die Energie wird in diesem Fall durch Slip-Stick-Reibung zwischen mit Kolophonium beschichteten Fingern und der Oberfläche des Stabs zugeführt; im Wesentlichen breitbandige farbige Rauschschwingungen, die in die Oberfläche des Stabs eintreten. In diesem Fall filtert die innere Struktur des Stabs Energie aus dem Lärmeintrag heraus und konzentriert sie auf die Eigenfrequenz des Stabs. Der Stab lässt nur ein schmales Band der Eingangserregung zu und fängt es ein. Der restliche Frequenzbereich wird größtenteils als Wärme an der Staboberfläche abgeführt.