Wie hängt die Energie in einem Wechselstromkreis von der Frequenz ab?

Question

Wie hängt die Energie in einem Wechselstromkreis von der Frequenz ab?

Nikolaj-K

In welchem Verhältnis steht der Energieeintrag in einem Wechselstromkreis zu seiner Frequenz?

Ich denke, ich muss so etwas wie berechnen

E = \int P (ω, T) D T = \int U (ω, T) ICH (ω, T) D T,

$E=\int P(\omega,t) dt=\int U(\omega,t) I(\omega,t) dt,$

aber wenn sagen

U (ω, T) \propto Sünde (ω T),

$U(\omega,t)\propto\sin{(\omega t)},$

dann scheint es Teil des Integrals zu sein $\propto\frac{1}{\omega}$ , während ich erwarten würde , dass die Energie mitwächst $\omega$ .

Antworten (3)

Wie hängt die Energie in einem Wechselstromkreis von der Frequenz ab?

mwengler · Answer 1

Betrachten Sie nur die gelieferte Leistung:

P (T) = U (ω T^{'}) ICH (ω T^{'})

$P(t) = U(\omega t') I(\omega t')$ Betrachten Sie den einfachen Fall

U (t^{'}) = U_{0} \sin (ω t^{'})

$U(t')=U_0\sin(\omega t')$ Und

I (t^{'}) = I_{0} \sin (ω t^{'})

$I(t')=I_0\sin(\omega t')$ . Dann ist die abgegebene Leistung

P (T) = U_{0} {ICH}_{0} {Sünde}^{2} (ω T)

$P(t) = U_0 I_0\sin^2(\omega t)$

= \frac{U_{0} {ICH}_{0}}{2} {1 - C Ö S (2 ω T)}

$={ U_0 I_0\over 2}\{1-cos(2\omega t)\}$

Wir können dies in zwei Begriffe unterteilen:

P_{D C} = \frac{U_{0} {ICH}_{0}}{2}

$P_{DC}={U_0 I_0\over 2}$ Und

P_{2 ω} = \frac{U_{0} {ICH}_{0}}{2} C Ö S (2 ω T)

$P_{2\omega} = { U_0 I_0\over 2}cos(2\omega t)$

$P_{DC}$ stellt die durchschnittliche Leistung dar, die aus unserem Netzteil fließt. Es ist $\propto$ Spannung und Strom. Da sie zeitlich konstant ist, steigt die abgegebene Energie zeitlich linear an. Das heißt, je länger wir unser Gerät an unser Netzteil angeschlossen lassen, desto mehr Energie hat das Netzteil geliefert.

$P_{AC}$ liefert keine Netzleistung. Für die Hälfte der $2\omega$ Zyklus, es entleert etwas zusätzliche Leistung, für die andere Hälfte extrahiert es die zusätzliche Leistung, die eingespeist wird. Es spiegelt die Tatsache wider, dass Strom und Spannung nicht konstant sind, sondern tatsächlich sinusförmig variieren und nur liefern $P_{DC}$ im Durchschnitt.

Und ja, wenn Sie sich integrieren $P(t)$ zu bekommen $E(t)$ Sie werden ein sehen $1/\omega$ Begriff in der Antwort. Ich überlasse es Ihnen, darüber nachzudenken, warum. Hinweis: Höherfrequente Spitzenleistungen halten nicht so lange an wie niederfrequente.

Verdammt noch mal, du hast Nicks Frage verstanden. Ich hatte keine Ahnung, was das Problem war, ich denke immer in Bezug auf die gemittelte Leistung eines Zyklus. Ich schätze, ich bin bereit für den Ruhestand der Physik.SE, und ich meine es ernst damit.
@Pygmalion: Nun, ich habe eine Formel für die Energie in Bezug auf die Leistung geschrieben und die Frage war wörtlich "In welcher Beziehung steht die Energiezufuhr in einem Wechselstromkreis zu seiner Frequenz ?". Ich frage mich, wie man die Frage so interpretieren kann, dass sie zu einer Antwort führt, die das Symbol E nicht beinhaltet. Aber das ist in keiner Weise eine Beschwerde. Ich frage mich nur, warum Sie sich fragen. Die Frage war sehr direkt und geradlinig, nicht wahr? Natürlich kommt es oft vor, dass man eine Frage beantwortet, die man sich selbst einmal gestellt hat oder die einem schon mehrfach gestellt wurde.
Aber trotzdem habe ich die Berechnungen vor der Frage selbst gemacht. Erst als ich das Ergebnis fand, wunderte ich mich darüber. Meine Frage ist motiviert durch folgendes konzeptionelles Problem, das ich nach den beiden geposteten Antworten immer noch nicht verstehe: Wenn ich den Energieeinsatz betrachte, den ich im Sekundentakt (egal zu welcher Uhrzeit) erbringen muss $T$ vielleicht ist es egal, hier betrachte ich die Energie, die ich in einer Sekunde Zeit benötige), warum höher $\omega$ scheinen weniger Energie zu bedeuten? Ja, die scharfen Spitzen implizieren, dass das Integral klein sein wird, aber ich finde es kontraintuitiv, dass schnellere Änderung = weniger $E$ .
Der DC-Anteil der Energie ist davon unabhängig $\omega$ . Es ist nur diese „oszillierende“ Energie, die positiv UND DANN NEGATIV zu werden scheint $\propto 1/\omega$ . Wir wissen aus der Leistungsgleichung, dass wir bei jeder Spitze eine konstante LEISTUNG haben, und diese Leistung ist $P_{PEAK} = U_0 I_0$ . Aber wenn diese Spitzenleistung nur eine Zeit lang fließende Energie ist $dt \propto 1/\omega$ dann ist die in jedem Peak geflossene Energiemenge $\propto 1/\omega$ . Das heißt, wenn wir die Leistung +/-/+/- sehr schnell drehen, sind unsere Energiespitzen + und - kleiner, als wenn wir sie wirklich langsam umschalten. Hoffe das hilft!
Ich habe mehr mathematisches Denken. Wenn Sie Energie wie oben integrieren, erhalten Sie schließlich eine zyklische (trigonometrische) Funktion mit Periode $T$ schließlich. Nun, in der Physik sind nur endliche Integrale sinnvoll, also müssen Sie Ihre Integration auf die Grenzen dieser Periode beschränken, sonst erhalten Sie das gleiche Ergebnis für die Obergrenze $t$ und Obergrenze $t+T$ . Wenn die Frequenz größer ist, dann ist die Begrenzungsperiode T kleiner und Sie erhalten eine kleinere Energie ...
Könntest du auch verwenden $\sin(2\pi t/T_0)$ anstatt $\sin(\omega t)$ . Dann wäre Ihre Frage: Warum ist meine Energie proportional zu $T_0$ ? Nun, weil Periodendauer kleinere Energie/Periode bedeutet.

Martin Gales · Answer 2

Beachten Sie, dass Ihre Formel

E = \int P (ω, T) D T = \int U (ω, T) ICH (ω, T) D T

$E=\int P(\omega,t) dt=\int U(\omega,t) I(\omega,t) dt$ kann umgeschrieben werden als

E = \int U (ω, T) ICH (ω, T) D T = \int \frac{U^{2} (w, T)}{Z} D T

$E=\int U(\omega,t) I(\omega,t) dt=\int\frac{U^2(w,t)}{Z}dt$ Nun lass

U = U_{0} \sin (w t)

$U=U_0\sin(wt)$ Und

Z = c o n s t

$Z=const$ was für einen kurzen Zeitraum angemessen ist

t

$t$ .Daher:

E = \frac{1}{Z} \int_{0}^{T} U^{2} (w, T) D T = \frac{U_{0}^{2}}{Z} \int_{0}^{T} {Sünde}^{2} (w, T) D T

$E=\frac{1}{Z}\int_0^{t} U^2(w,t)dt=\frac{U_0^2}{Z}\int_0^{t} \sin^2(w,t)dt$ Nächste:

\int_{0}^{T} {Sünde}^{2} (w, T) D T = \frac{T}{2} - \frac{Sünde (2 w T)}{4 w}

$\int_0^{t} \sin^2(w,t)dt=\frac{t}{2}-\frac{\sin(2wt)}{4w}$ Also, wenn

w \to \infty

$w\rightarrow\infty$ , Dann

E

$E$ hängt nicht von ab

w

$w$ .

Edit: Ergänzungen:

Genauer gesagt die Impedanz der Schaltung $Z$ hängt von der Frequenz ab

Z = \sqrt{R (w)^{2} + {(w L - \frac{1}{w C})}^{2}}

$Z=\sqrt{r(w)^2+\left ( wL-\frac{1}{wC}\right)^2}$ Wo

L

$L$ ist die Impedanz der Schaltung und

C

$C$ ist die Kapazität der Schaltung und

r

$r$ ist der Widerstand, der auch davon abhängt

w

$w$ aufgrund des Skin-Effekts.

Das bedeutet $Z \rightarrow wL$ als $w\rightarrow\infty$ Wenn $L\neq 0$

Also eine Antwort, die näher an der Realität liegt

E = \frac{U_{0}^{2}}{w L} \frac{T}{2}; w \to \infty

$E=\frac{U_0^2}{wL}\frac{t}{2};w\rightarrow\infty$

Wisst ihr wie ich das regeln kann $\omega$ ? Gibt es eine Obergrenze für die $\omega$ Kann ich das Ding zum Laufen bringen? Und woher kommt diese Grenze?

Pygmalion · Answer 3

Wenn Sie eine Schaltung mit statischen Elementen haben (z. B. Kombination aus Widerständen, Kondensatoren und Induktivitäten), dann z

U (T) = U_{0} Sünde (ω T)

$U(t) = U_0 \sin(\omega t)$

du hast

ICH (T) = {ICH}_{0} Sünde (ω T + ϕ)

$I(t) = I_0 \sin(\omega t + \phi)$ .

Du erhältst $I_0$ Und $\phi$ von der komplexen Impedanz $Z(\omega)$ :

{ICH}_{0} = \frac{U_{0}}{| Z |}, bräunen ϕ = (\frac{Ich bin (Z)}{Betreff (Z)}) .

$I_0 = \frac{U_0}{|Z|}, \tan \phi = \left(\frac{\text{Im}(Z)}{\text{Re}(Z)}\right).$

Sie können Spannung und Strom auch als komplexe Zahlen betrachten:

U (T) = U_{0} e^{ich ω T}, ICH (T) = {ICH}_{0} e^{ich ω T}, U_{0} = Z {ICH}_{0}

$U(t) = U_0 e^{i\omega t}, I(t) = I_0 e^{i\omega t}, U_0 = Z I_0$

EDIT: Wenn Sie sich nur um den Begriff kümmern $\omega^{-1}$ , verwenden $T_0$ anstatt $\omega$ :

U (T) = U_{0} Sünde (\frac{2 π T}{T_{0}})

$U(t) = U_0 \sin(\frac{2 \pi t}{T_0})$

du hast

ICH (T) = {ICH}_{0} Sünde (\frac{2 π T}{T_{0}} + ϕ)

$I(t) = I_0 \sin(\frac{2 \pi t}{T_0} + \phi)$ .

Sie erhalten am Ende den Ausdruck, zu dem Energie proportional ist $T_0$ . Dies sagt Ihnen nur, dass die Energie kleiner ist, weil die Zeit, in der sie übertragen wurde, kleiner ist.

Mhm, das beantwortet die Frage nicht wirklich, oder? Und Sie fragen: „Warum sollte ein Teil des Integrals proportional zu sein? $\omega^{-1}$ „... ist das nicht das, was man bekommt, wenn man die Phasen integriert?
Ich bin mir nicht ganz sicher, was Sie mit Energie als Integral der Zeit meinen. Normalerweise würden Sie die durchschnittliche Leistung über einen Zyklus berechnen, dh die Energie für einen Spannungszyklus integrieren und durch die Zeit des Zyklus dividieren $1/T_0 = \omega/2\pi$ , also verlierst du $1/\omega$ .
Meine letzte Vermutung ist, dass Sie wissen müssen, dass Sie zyklische Funktionen integrieren und diese nur über einen Zyklus definiert sind (z $\sin$ von 0 bis $2 \pi$ ). Größere Frequenz, kürzere Periode, kleinere Energie.

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