Ist die Kreisfrequenz bei gedämpfter harmonischer Bewegung zeitabhängig?

Ein (ungetriebener) gedämpfter harmonischer Oszillator (befriedigend$m\ddot{x} + \gamma \dot{x} + \omega_0^2 x=0$) kann durch die Lösung(en) gelöst werden$x_0e^{i \omega t}$. Für einen unterdämpften Oszillator stellen diese Lösungen reine Schwingungen dar, gemischt mit exponentiellem Abfall (/Wachstum). Denn beide Lösungen für$\omega$mit der gleichen Periode oszillieren, oszillieren auch alle Kombinationen von ihnen mit der gleichen Periode.

Ich nehme an, dass Ihre Verwirrung von einer intuitiven Idee herrührt, warum eine Rückstellkraft zu einer periodischen Bewegung führt. Im ungedämpften Fall sind die Phasenraumtrajektorien des Teilchens geschlossen (dh das Teilchen kehrt immer an die gleiche(n) Position(en) zurück). Im gedämpften Fall verlaufen die Trajektorien spiralförmig in Richtung Ruhe. Aber beide dieser Bewegungen sind periodisch in dem Sinne, dass sie ihre relativen Extrema (und ihren Nulldurchgang) nach einem bestimmten Zeitintervall erreichen. Wie können Sie das sehen? Vielleicht können Sie sich vom ungedämpften Fall inspirieren lassen: Beachten Sie, dass die Periode unabhängig von der Größe der Umlaufbahn ist. Da die Gleichung linear ist, wird jede Änderung der Amplitude genau durch eine Änderung der Kraft berücksichtigt. Tatsächlich können alle linearen (homogenen) ODEs durch die obige Anstaz erfüllt werden (dh Lösungen sind periodisch, gedämpft oder beides).

Das Dämpfen einer Schwingung ändert die Frequenz auf zwei Arten.

Die Schwingung findet nicht mehr bei einer einzigen Frequenz statt, sondern umfasst eine kontinuierliche Frequenzverteilung, die durch ein Lorentz-Profil gekennzeichnet ist , mit einer Breite, die mit der Dämpfung zunimmt.

Zweitens tritt die Spitze dieser Verteilung bei einer niedrigeren Frequenz als der Eigenfrequenz des Systems auf, und zwar um einen Betrag, der mit der Dämpfung zunimmt.

dh die Frequenz ist nicht zeitabhängig.

Das Obige gilt für lineare Oszillatoren, bei denen die Rückstellkraft- und Dämpfungsterme linear von der Verschiebung bzw. der Geschwindigkeit abhängen. Bei nichtlinearen Oszillatoren kann das anders sein. Man kann eine Beziehung zwischen Frequenz und Amplitude (und damit Zeit) herstellen. z. B. hat ein Pendel tatsächlich eine Frequenz, die mit der Amplitude abnimmt und daher mit der Zeit zunimmt, wenn die Amplitude gedämpft wird. Hier ist eine Animation von Pendeln mit großer und kleiner Amplitude , die einen Vergleich ermöglicht.

Dieses einfache Pendel ist ein Beispiel für eine Situation mit "weicher Feder", bei der die Rückstellkraft bei großen Amplituden geringer wird als eine Extrapolation einer linearen Beziehung mit der Verschiebung (oder dem Winkel im Fall eines Pendels). Um eine Frequenz zu erhalten, die mit gedämpfter Amplitude abnimmt, ist eine "harte Feder" erforderlich - beispielsweise eine Feder, bei der die Rückstellkraft variiert$\alpha x + \beta x^3$mit$\alpha, \beta>0$. Diese nichtlinearen Federn werden oft als Duffing-Oszillatoren bezeichnet .