Ein stationäres Aktionsprinzip für einen Oszillator mit positionsabhängiger Dämpfung

Question

Ein stationäres Aktionsprinzip für einen Oszillator mit positionsabhängiger Dämpfung

Physik
Reibung
Ableitung
Oszillatoren
lagrangescher Formalismus
Variationsprinzip

Benutzer129599

Ich frage mich, ob die Bewegungsgleichung eines Oszillators mit (ortsabhängiger) Dämpfung
$\begin{matrix} (1) & \ddot{x} + γ (x) \dot{x} + ω_{0}^{2} x = 0 \end{matrix}$ $\begin{equation*} \ddot{x}+\gamma(x)\dot{x}+\omega_{0}^{2}x=0 \tag{1} \end{equation*}$ kann direkt aus einem stationären Wirkprinzip abgeleitet werden ?

Ganz klar, wenn $\gamma$ nicht von der Position abhängt, dann die zeitabhängige gedämpfte Lagrange-Funktion

\begin{matrix} (2) & L (x, \dot{x}, t) = e^{γ t} ({\dot{x}}^{2} - ω_{0}^{2} x^{2}) / 2 \end{matrix}

$\mathcal{L}(x,\dot{x},t)=e^{\gamma t}(\dot{x}^{2}-\omega_{0}^{2}x^{2})/2\tag{2}$ würde die Arbeit machen.

Hinsichtlich einer nicht-variationalen Lagrange-Formulierung kann die obige Gleichung (1) durch Einführen der Rayleigh-Dissipationsfunktion abgeleitet werden

\begin{matrix} (3) & Q (x, \dot{x}) = - \frac{\partial F}{\partial \dot{x}}, \end{matrix}

$Q(x,\dot{x})=-\frac{\partial\mathcal{F}}{\partial\dot{x}},\tag{3}$ wo

\begin{matrix} (4) & F (x, \dot{x}) = \frac{1}{2} γ (x) {\dot{x}}^{2} . \end{matrix}

$\mathcal{F}(x,\dot{x})=\frac{1}{2}\gamma(x)\dot{x}^{2}.\tag{4}$ Gibt es jedoch ein stationäres Wirkprinzip für Gleichung (1)?

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Ein stationäres Aktionsprinzip für einen Oszillator mit positionsabhängiger Dämpfung

QMechaniker · Answer 1

TL;DR: Ja, eine Variationsformulierung/stationäres Wirkungsprinzip existiert lokal, wenn die Variable $x$ ist eindimensional (und nicht mehrdimensional).

Man kann jede ODE zweiter Ordnung (wie OPs eom) als 2 gekoppelte OPEs erster Ordnung umschreiben

\begin{matrix} (EIN) & \dot{x} = f (x, j), \dot{j} = g (x, j) . \end{matrix}

$\dot{x}~=~f(x,y), \qquad \dot{y}~=~g(x,y).\tag{A}$ Allgemeiner existiert für jedes System der Form (A) lokal eine Variationsformulierung.

Skizzierter Existenzbeweis:

In meiner Phys.SE-Antwort hier wird erklärt, dass es lokal eine Hamiltonsche Formulierung gibt
$\begin{matrix} (B) & \dot{x} = {x, H}, \dot{j} = {j, H} \end{matrix}$ $\dot{x}~=~\{x,H\}, \qquad \dot{y}~=~\{y,H\}\tag{B}$ des Systems (A).
Eine Poisson-Struktur in 2 Dimensionen wird vollständig durch eine einzige Funktion bestimmt
$\begin{matrix} (C) & B (x, j) := {x, j} . \end{matrix}$ $B(x,y)~:=~\{x,y\}.\tag{C}$
Die entsprechende symplektische 2-Form
$\begin{matrix} (D) & ω = \frac{1}{B} d j \land d x = d θ \end{matrix}$ $\omega~=~\frac{1}{B}\mathrm{d}y\wedge \mathrm{d}x~=~\mathrm{d}\theta\tag{D}$ ist lokal genau , wo $\begin{matrix} (E) & θ = a (x, j) d x + b (x, j) d j \end{matrix}$ $\theta~=~a(x,y)~\mathrm{d}x+b(x,y)~\mathrm{d}y\tag{E}$ ist eine symplektische Potential-1-Form.
Die Hamilton-Gleichungen (B) sind die Euler-Lagrange (EL)-Gleichungen des folgenden Hamiltonschen Lagrange:
$\begin{matrix} (F) & L_{H} := a \dot{x} + b \dot{j} - H . \end{matrix}$ $L_H~:=~a\dot{x}+b\dot{y}-H . \tag{F}$
Die entsprechende Aktion ist
$\begin{matrix} (G) & S_{H} = \int d t L_{H} . \end{matrix}$ $S_H~=~\int \! dt~L_H. \tag{G}$ $\Box$

Beachten Sie, dass die Lagrange-Funktion (F) im Gegensatz zu Gl. (2).

Ein stationäres Aktionsprinzip für einen Oszillator mit positionsabhängiger Dämpfung

Benutzer129599

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QMechaniker

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