Caldeira-Leggett Dissipation: Frequenzverschiebung durch Badkopplung

Question

Caldeira-Leggett Dissipation: Frequenzverschiebung durch Badkopplung

Physik
Ableitung
Oszillatoren
gekoppelte Oszillatoren
lagrangianischer Formalismus
offene Quantensysteme

Smerdjakov

Ich versuche, das Caldeira-Leggett-Modell zu verstehen . Es berücksichtigt die Lagrange-Funktion

L = \frac{1}{2} ({\dot{Q}}^{2} - (Ω^{2} - Δ Ω^{2}) Q^{2}) - Q \sum_{ich} F_{ich} Q_{ich} + \sum_{ich} \frac{1}{2} ({\dot{Q}}^{2} - ω_{ich}^{2} Q^{2})

$L = \frac{1}{2} \left(\dot{Q}^2 - \left(\Omega^2-\Delta \Omega^2\right)Q^2\right) - Q \sum_{i} f_iq_i + \sum_{i}\frac{1}{2} \left(\dot{q}^2 - \omega_i^2q^2\right)$

Wo $Q$ ist die verallgemeinerte Koordinate der Makrovariablen (ein Oszillator mit Eigenfrequenz $\Omega$ ), $q_i$ sind Variablen, die sich auf ein Array von harmonischen Oszillatoren beziehen, jeder mit Eigenfrequenz $\omega_i$ .Der erste Term beschreibt die Potentail- und kinetischen Energien bezogen auf den Makrofreiheitsgrad, der zweite Term beschreibt die Kopplung über Konstanten $f_i$ , der dritte wiederum beschreibt potentielle und kinetische Energien der Anordnung von Oszillatoren,

Δ Ω^{2} = - \sum_{ich} {(\frac{F_{ich}}{ω_{ich}})}^{2}

$\Delta \Omega^2 = -\sum_i \left( \frac{f_i}{\omega_i} \right)^2$

ist der Ad-hoc-Begriff, auf den sich meine erste Frage bezieht. Die Erklärung, die ich gefunden habe, geht

die Menge wird eingefügt, um die Frequenzverschiebung aufzuheben
$Ω^{2} \to Ω^{2} - \sum_{ich} {(\frac{F_{ich}}{ω_{ich}})}^{2}$ $\Omega^2 \to \Omega^2 - \sum_{i} \left(\frac{f_i}{\omega_i}\right)^2$ [...] die Verschiebung entsteht, weil ein statisches Q die Badoszillatoren so verschiebt $F_{ich} Q_{ich} = - (F_{ich}^{2} / ω_{ich}^{2}) Q$ $f_i q_i = - \left(f_i^2 / \omega_i^2\right)Q$ Ersetzen Sie diese Werte durch die $f_i q_i$ in die potenziellen Begriffe zeigt, dass das effektive Potenzial von gesehen $Q$ hätte eine "verschobene" Frequenz.

Ich bekomme es leider nicht hin. Ich habe versucht, auf die Gleichung zu kommen

F_{ich} Q_{ich} = - (F_{ich}^{2} / ω_{ich}^{2}) Q

$f_i q_i = - \left(f_i^2 / \omega_i^2\right)Q$

B. durch Betrachtung der Bewegungsgleichung im Gleichgewicht, ohne Erfolg. Warum sollte $\Omega$ von der Kupplung betroffen sein? Auch aus intuitiver Sicht sehe ich nicht, wie sich eine "Vorspannung" auf die Eigenfrequenz eines harmonischen Oszillators auswirken würde. Jeder Hinweis wäre so dankbar.

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mthibodeau · Answer 1

Um Adams Antwort zu erweitern, sehen wir uns die Wirkung einer Statik an $Q$ auf dem System ohne die $\Delta \Omega^2$ . Der Lagrange wird

L = - \frac{1}{2} Ω^{2} Q^{2} - Q \sum_{ich} F_{ich} Q_{ich} + \sum_{ich} \frac{1}{2} ({\dot{Q}}_{ich}^{2} - ω_{ich}^{2} Q_{ich}^{2})

$L = -\frac{1}{2}\Omega^2Q^2 - Q\sum_i f_iq_i + \sum_i \frac{1}{2}(\dot{q}_i^2 - \omega_i^2q_i^2)$ Die Bewegungsgleichung für jeden der

q_{i}

$q_i$ ist jetzt

\frac{\partial L}{\partial Q_{ich}} = \frac{D}{D T} \frac{\partial L}{\partial \dot{Q_{ich}}} ⟹ - Q F_{ich} - ω_{ich}^{2} Q_{ich} = {\ddot{Q}}_{ich}

$\frac{\partial L}{\partial q_i} = \frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial \dot{q_i}} \implies -Qf_i -\omega_i^2q_i = \ddot{q}_i$ Um einen harmonischen Oszillator wiederzugewinnen, verschieben wir die Koordinaten durch Definition

q_{i}^{'} = q_{i} + Q \frac{f_{i}}{ω_{i}^{2}}

$q_i' =q_i + Q\frac{f_i}{\omega_i^2}$ , und jetzt ist der EOM der Vertraute

\ddot{q_{i}^{'}} = - ω_{i}^{2} q_{i}^{'}

$\ddot{q'_i} = -\omega_i^2q_i'$ . Wir können die statische Verschiebung sofort als die Menge identifizieren, die wir von der subtrahiert haben

q_{i}

$q_i$ , dh

Δ Q_{ich} = - Q \frac{F_{ich}}{ω_{ich}^{2}}

$\Delta q_i = -Q\frac{f_i}{\omega_i^2}$ Multiplizieren Sie beide Seiten mit

f_{i}

$f_i$ und Sie erhalten die gewünschte Gleichung.

Warum wirkt sich dies auf die Frequenz des Makrooszillators aus? $Q$ ? Intuitiv könnten Sie denken, dass alle Umgebungsoszillatoren $q_i$ "schleppen" sich weiter $Q$ . Ersetzen Sie quantitativ alle $q_i$ im Lagrange mit dem $\Delta q_i$ oben und Sie finden den EOM für $Q$ ist jetzt

\ddot{Q} = - (Ω^{2} - \sum_{ich} \frac{F_{ich}^{2}}{ω_{ich}^{2}}) Q

$\ddot Q = -\left(\Omega^2 - \sum_i\frac{f_i^2}{\omega_i^2} \right)Q$ was Ihnen die Frequenzverschiebung gibt

Δ Ω^{2}

$\Delta \Omega^2$ .

Hinweis: Vieles davon stammt aus dem ausgezeichneten Lehrbuch Mathematics for Physics von Stone & Goldbart .

Adam · Answer 2

Schaut man sich die Bewegungsgleichung an $Q$ und das $q_i$ , und lösen Sie sie für das Bad auf, dann fügen Sie dies in die Gleichung für ein $Q$ , Sie werden sehen, dass die Häufigkeit von $Q$ wird um den in der Frage angegebenen Betrag verschoben.

Wenn Sie die wahre Frequenz des Systems (bei Vorhandensein des Bades) durch definieren möchten $\Omega^2$ , müssen Sie diese Verschiebung in die Lagrange-Funktion einfügen.

PS: Da das System quadratisch ist, ist die Lösung der klassischen Bewegungsgleichungen für den Zweck der Fragestellung äquivalent zum Quantenproblem.

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Smerdjakov

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mthibodeau

Adam

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