Landau-Mechanik - Normale Schwingungsmoden

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Landau-Mechanik - Normale Schwingungsmoden

Physik
Normal-Modi
Lineare Algebra
gekoppelte Oszillatoren
lagrangescher Formalismus

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In Landaus Mechanik-Buch gibt es einen Abschnitt, in dem er kleine Schwingungen in Systemen mit erklärt $s \geq 1$ Freiheitsgrade. Er schreibt die kinetische und potentielle Energie als

T = \sum_{ich, k} \frac{1}{2} A_{ich k} (Q_{0}) {\dot{Q}}_{ich} {\dot{Q}}_{k} U = \sum_{ich, k} \frac{1}{2} k_{ich k} X_{ich} X_{k}

$T = \sum_{i, k} \frac{1}{2}a_{ik}(q_0)\dot{q}_i\dot{q}_k \hspace{1cm} U = \sum_{i, k} \frac{1}{2}k_{ik}x_ix_k$ Wo

q_{0}

$q_0$ ist ein stabiler Gleichgewichtspunkt, so dass die Matrix

K = (k_{i k})

$K = (k_{ik})$ ist positiv definit, und

x = q - q_{0}

$x = q - q_0$ . Außerdem setzt er

a_{i k} (q_{0}) = m_{i k}

$a_{ik}(q_0) = m_{ik}$ , so dass

T = \sum_{ich, k} \frac{1}{2} M_{ich k} {\dot{Q}}_{ich} {\dot{Q}}_{k}

$T = \sum_{i, k} \frac{1}{2}m_{ik}\dot{q}_i\dot{q}_k$ Verwendung der Lagrange-Gleichungen bei der Suche nach Lösungen der Form

x_{k} = A_{k} e^{i ω t}, A_{k}, ω \in C

$x_k = A_k e^{i\omega t}, \; A_k, \omega \in \mathbb{C}$ , erhält er

\sum_{k} (- ω^{2} M_{ich k} + k_{ich k}) A_{k} = 0

$\sum_k (-\omega ^2m_{ik} + k_{ik})A_k = 0$ die in Matrixform umgeschrieben werden kann als

(- ω^{2} M + K) A = 0

$(-\omega ^2M + K)A = 0$ . Beide

M

$M$ Und

K

$K$ sind positiv definit und daher invertierbar, also ist die letzte Gleichung äquivalent zu

(M^{- 1} K - ω^{2} I) A = 0

$(M^{-1}K - \omega^2 I)A = 0$ . Was Landau also sucht, sind die Eigenwerte und Eigenvektoren von

M^{- 1} K

$M^{-1}K$ . Dann sagt er, dass, sofern die Eigenwerte alle unterschiedlich sind, die Komponenten

A_{k}

$A_k$ von

A

$A$ sind proportional zu den Minderjährigen der Determinante von

(M^{- 1} K - ω^{2} I)

$(M^{-1}K - \omega^2I)$ , mit

ω^{2}

$\omega^2$ Eigenwert.

Warum ist das? Die Cramersche Regel ist nutzlos, da die Matrix nicht invertierbar ist.

Meine Überlegung lautet wie folgt: setzen $C = \frac{M^{-1}K}{\omega^2}$ . Dann haben wir $CA = A$ . Betrachten wir die Determinante der Matrix C, deren $i$ te Spalte wird durch ersetzt $A$ , wir bekommen

D (C^{1}, \dots, C^{ich - 1}, A, C^{ich + 1}, \dots, C^{S}) = D (C^{1}, \dots, C^{ich - 1}, \sum_{J} A_{J} C^{J}, C^{ich + 1}, \dots, C^{S}) = A_{ich} D (C)

$D(C^1, \dots, C^{i-1}, A, C^{i+1}, \dots, C^s) = D(C^1, \dots, C^{i-1}, \sum_j A_jC^j, C^{i+1}, \dots, C^s) = A_i D(C)$ und so

A_{ich} = \frac{D (C^{1}, \dots, C^{ich - 1}, A, C^{ich + 1}, \dots, C^{S})}{D (C)} = \frac{1}{D (C)} \sum_{k} M_{ich k} A_{k}

$A_i = \frac{D(C^1, \dots, C^{i-1}, A, C^{i+1}, \dots, C^s)}{D(C)}= \frac{1}{D(C)}\sum_k M_{ik}A_k$ wobei die letzte Gleichheit aus Laplaces Erweiterung der Determinante im Zähler und folgt

M_{i k}

$M_{ik}$ sind Koeffizienten, die proportional zu den Minderjährigen sind

C

$C$ .

Wie komme ich zu dem Schluss, dass die Koeffizienten $A_k$ sind proportional zu den Minderjährigen?

EDIT: Ich suche nach einem Beweis für diese Tatsache.

Phönix87

Beantwortet das deine Frage? Warum sind die Lösungskoeffizienten für einen harmonischen Oszillator proportional zu den Minoren der Determinante?

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Nicht wirklich, ich habe nach einem Beweis gesucht ... Ich habe diesen Beitrag aber gelesen.

Kosmas Zachos

Verlinkt .

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Ich verstehe nicht ganz, wie Ihr Beitrag zu meiner Frage passt ...

Kosmas Zachos

Verlinkt .

Antworten (1)

Landau-Mechanik - Normale Schwingungsmoden

Beantwortet das deine Frage? Warum sind die Lösungskoeffizienten für einen harmonischen Oszillator proportional zu den Minoren der Determinante?
Nicht wirklich, ich habe nach einem Beweis gesucht ... Ich habe diesen Beitrag aber gelesen.
Ich verstehe nicht ganz, wie Ihr Beitrag zu meiner Frage passt ...

Kosmas Zachos · Answer 1

Die Komponenten des Nullvektors sind eigentlich beliebige Spalten der transponierten Kofaktormatrix, also also die fabelhafte, wunderbare adjugierte Matrix .

Für eine gegebene Matrix N suchst du also den Nullvektor $\det (N)=0$ . Nun ist die Transponierte der Kofaktormatrix

Adj (N) = C^{T},

$\operatorname{Adj}(N)=C^T,$ wobei C , die Kofaktormatrix von N , die korrekt vorzeichenpermutierten Minoren in den entsprechenden Einträgen hat. Das Eigentum des Adjugats ist das

N Adj (N) = 1 1 det (N) .

$N ~\operatorname{Adj}(N)= 1\!\!1 ~ \det (N).$ Aber wir sind davon ausgegangen

det (N) = 0

$\det (N)=0$ , also verschwindet die rechte Seite des Obigen.

Jede Spalte der adjugierten Matrix ist ein guter Nullvektor von N , weshalb sich sowohl die Antworten auf die von @Phoenix87 verlinkte Frage als auch Landau nicht die Mühe machen, anzugeben, für welche Zeile sie die Cofaktoren berechnen. In diesem Fall ist der Rang des Adjugaten nur 1!

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