Wiederherstellung der Symmetrie in gekoppelten Oszillatoren

Question

Wiederherstellung der Symmetrie in gekoppelten Oszillatoren

Physik
Symmetrie
Normal-Modi
Lineare Algebra
gekoppelte Oszillatoren

Daniel Sank

Stellen Sie sich ein Paar LC-Oszillatoren vor, einen mit Kapazität $C_1$ und Induktivität $L_1$ und der andere mit Kapazität $C_2$ und Induktivität $L_2$ . Angenommen, sie sind über einen Kondensator verbunden $C_g$ . Wir wollen die normalen Moden und Frequenzen finden.

Wenn wir die Kirchhoffschen Gesetze aufschreiben, finden wir

\begin{aligned} v_{1} + {\ddot{v}}_{1} (1 + ϵ_{1}) / ω_{1}^{2} - (ϵ_{1} / ω_{1}^{2}) {\ddot{v}}_{2} & = 0 \\ v_{2} + {\ddot{v}}_{2} (1 + ϵ_{2}) / ω_{2}^{2} - (ϵ_{2} / ω_{2}^{2}) {\ddot{v}}_{1} & = 0 \end{aligned}

$\begin{align} V_1 + \ddot{V}_1 \left(1 + \epsilon_1 \right)/\omega_1^2 - (\epsilon_1/\omega_1^2)\ddot{V}_2 &= 0 \\ V_2 + \ddot{V}_2 \left(1 + \epsilon_2 \right)/\omega_2^2 - (\epsilon_2/\omega_2^2)\ddot{V}_1 &= 0 \\ \end{align}$ Wo

ϵ_{i} \equiv C_{g} / C_{i}

$\epsilon_i \equiv C_g / C_i$ Und

ω_{i}^{2} \equiv 1 / L_{i} C_{i}

$\omega_i^2 \equiv 1/L_i C_i$ . Diese Gleichungen können in Matrixform geschrieben werden als

\begin{matrix} (⋆) & (\begin{matrix} v_{1} \\ v_{2} \end{matrix}) = (\begin{array}{cc} (1 + ϵ_{1}) / ω_{1}^{2} & - ϵ_{1} / ω_{1}^{2} \\ - ϵ_{2} / ω_{2}^{2} & (1 + ϵ_{2}) / ω_{2}^{2} \end{array}) (\begin{matrix} {\ddot{v}}_{1} \\ {\ddot{v}}_{2} \end{matrix}) . \end{matrix}

$\left( \begin{array}{c} V_1 \\ V_2 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{cc} (1 + \epsilon_1)/\omega_1^2 & - \epsilon_1 / \omega_1^2 \\ - \epsilon_2 / \omega_2^2 & (1 + \epsilon_2)/\omega_2^2 \\ \end{array} \right) \left( \begin{array}{c} \ddot{V}_1 \\ \ddot{V}_2 \end{array} \right) \tag{$\star$} \, .$ Wenn jetzt

L_{1} = L_{2}

$L_1 = L_2$ Und

C_{1} = C_{2}

$C_1 = C_2$ Dann

ϵ_{1} = ϵ_{2} \equiv ϵ

$\epsilon_1 = \epsilon_2 \equiv \epsilon$ Und

ω_{1} = ω_{2} \equiv ω_{0}

$\omega_1 = \omega_2 \equiv \omega_0$ und die Matrixgleichung wird

(\begin{matrix} v_{1} \\ v_{2} \end{matrix}) = (\begin{array}{cc} (1 + ϵ) / ω_{0}^{2} & - ϵ / ω_{0}^{2} \\ - ϵ / ω_{0}^{2} & (1 + ϵ) / ω_{0}^{2} \end{array}) (\begin{matrix} {\ddot{v}}_{1} \\ {\ddot{v}}_{2} \end{matrix}) .

$\left( \begin{array}{c} V_1 \\ V_2 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{cc} (1 + \epsilon)/\omega_0^2 & - \epsilon / \omega_0^2 \\ - \epsilon / \omega_0^2 & (1 + \epsilon)/\omega_0^2 \\ \end{array} \right) \left( \begin{array}{c} \ddot{V}_1 \\ \ddot{V}_2 \end{array} \right) \, .$ In diesem speziellen Fall kann die Matrix in der netten Form geschrieben werden

\begin{matrix} (⋆ ⋆) & \frac{1 + ϵ}{ω_{0}^{2}} ICH - \frac{ϵ}{ω_{0}^{2}} σ_{X} \end{matrix}

$\frac{1 + \epsilon}{\omega_0^2} \, \mathbb{I} - \frac{\epsilon}{\omega_0^2} \sigma_x \tag{$\star \star$}$ und es ist ziemlich einfach, die normalen Modi und normalen Frequenzen zu finden.

^{[a]}

$^{[a]}$

Wenn die Oszillatoren jedoch nicht identisch sind, zB Gl. ( $\star$ ), Ausdrücke für die normalen Modi und Frequenzen sind ziemlich chaotisch. Gibt es eine Transformation, auf die wir uns anwenden können ( $\star$ ), um es in eine einfache Form zu bringen wie ( $\star \star$ ), sodass die Modusanalyse zu einfacheren Gleichungen führt?

Eine andere Möglichkeit, dies zu fragen, wäre vielleicht, nach einer systematischen Methode zur Neuskalierung der Variablen zu fragen, sodass die Matrix in den Bewegungsgleichungen symmetrisch oder vielleicht hermitesch ist.

[a] Die Frequenzen sind $\omega_0$ (gerade Modus) und $\omega_0 / \sqrt{1 + 2 \epsilon}$ (ungerade Modus).

Trägheitsbeobachter

Haben Sie versucht, auf einer Basis zu arbeiten, bei der die Matrix diagonal ist?

Daniel Sank

@InertialObserver Diese Basis systematisch zu finden, ist genau der Sinn dieser Frage.

Trägheitsbeobachter

Ich verstehe nicht ... das ist dann kein Problem mit gekoppelten Oszillatoren ... kennen Sie sich mit Matrixdiagonalisierung aus?

Daniel Sank

@InertialObserver Ja, ich kenne mich mit Matrixdiagonalisierung aus, und ja, das ist eine Frage zu gekoppelten Oszillatoren. Die gleichung (

⋆

$\star$ ) sind die Gleichungen zweier gekoppelter elektrischer harmonischer Oszillatoren. Die Frage ist, wie man die Matrix systematisch diagonalisiert (dh die Bewegungsgleichungen entkoppelt), wenn die Oszillatoren nicht identisch sind.

Knzhou

Ich nehme an, Sie könnten die Matrix allgemein schreiben als

a_{0} I + \vec{a} \cdot \vec{σ}

$a_0 I + \vec{a} \cdot \vec{\sigma}$ und wenden Sie dann eine Drehung an (durch Konjugation mit

e^{- i θ \hat{n} \cdot \vec{σ}}

$e^{- i \theta \hat{n} \cdot \vec{\sigma}}$ ) anpassen

\vec{a}

$\vec{a}$ mit

\hat{x}

$\hat{x}$ . Dies explizit zu tun, könnte jedoch komplizierter sein, als es auf die normale Weise zu tun.

Frobenius

Verwandte: Lagrangedichte für zwei gekoppelte lineare Differentialgleichungen zweiter Ordnung .

Antworten (3)

Wiederherstellung der Symmetrie in gekoppelten Oszillatoren

Haben Sie versucht, auf einer Basis zu arbeiten, bei der die Matrix diagonal ist?
@InertialObserver Diese Basis systematisch zu finden, ist genau der Sinn dieser Frage.
Ich verstehe nicht ... das ist dann kein Problem mit gekoppelten Oszillatoren ... kennen Sie sich mit Matrixdiagonalisierung aus?
@InertialObserver Ja, ich kenne mich mit Matrixdiagonalisierung aus, und ja, das ist eine Frage zu gekoppelten Oszillatoren. Die gleichung ( $\star$ ) sind die Gleichungen zweier gekoppelter elektrischer harmonischer Oszillatoren. Die Frage ist, wie man die Matrix systematisch diagonalisiert (dh die Bewegungsgleichungen entkoppelt), wenn die Oszillatoren nicht identisch sind.
Ich nehme an, Sie könnten die Matrix allgemein schreiben als $a_0 I + \vec{a} \cdot \vec{\sigma}$ und wenden Sie dann eine Drehung an (durch Konjugation mit $e^{- i \theta \hat{n} \cdot \vec{\sigma}}$ ) anpassen $\vec{a}$ mit $\hat{x}$ . Dies explizit zu tun, könnte jedoch komplizierter sein, als es auf die normale Weise zu tun.
Verwandte: Lagrangedichte für zwei gekoppelte lineare Differentialgleichungen zweiter Ordnung .

ZeroTheHero · Answer 1

Wie wäre es damit:

Ich werde Ihre allgemeine Matrix in das Formular schreiben

\begin{aligned} M = (\begin{array}{cc} A & B \\ C & D \end{array}) \end{aligned}

$\begin{align} M=\left(\begin{array}{cc} a&b\\ c&d \end{array}\right) \end{align}$ damit Ihr System ist

v = M \ddot{v}

$V=M \ddot{V}$

In Betracht ziehen

\begin{aligned} U = (\begin{array}{cc} e^{a} & 0 \\ 0 & e^{- a} \end{array}) \end{aligned}

$\begin{align} U=\left(\begin{array}{cc} e^{\alpha}&0\\ 0&e^{-\alpha} \end{array}\right) \end{align}$ mit

α

$\alpha$ bestimmt werden. Die Wahl davon ist eng mit einer Rotation verbunden

e^{- i α {\hat{L}}_{z}}

$e^{-i\alpha \hat L_z}$ das würde den Zweck erfüllen, wenn Sie eine hermitische Matrix hätten und diese drehen wollten

σ_{y}

$\sigma_y$ Komponente weg.

Bei der Konjugation:

\begin{aligned} U M U^{- 1} = (\begin{array}{cc} A & B e^{2 a} \\ C e^{- 2 a} & D \end{array}) \end{aligned}

$\begin{align} UMU^{-1}= \left(\begin{array}{cc} a&be^{2\alpha}\\ ce^{-2\alpha}&d \end{array}\right) \end{align}$ und wähle

α

$\alpha$ so dass

B e^{2 a} = C e^{- 2 a} = B^{'}

$be^{2\alpha}=ce^{-2\alpha}=b’$ um Ihr Original mitzubringen

M

$M$ zum Formular

\begin{aligned} U M U^{- 1} = (\begin{array}{cc} A & B^{'} \\ B^{'} & D \end{array}) \end{aligned}

$\begin{align} UMU^{-1}= \left(\begin{array}{cc} a&b’\\ b’&d \end{array}\right) \end{align}$ was von der Form ist

\begin{aligned} \frac{1}{2} (A + D) ICH + \frac{1}{2} (A - D) σ_{z} + B^{'} σ_{X} \end{aligned}

$\begin{align} \frac{1}{2}(a+d)\mathbb{I}+\frac{1}{2}(a-d)\sigma_z+b’\sigma_x \end{align}$ Eine weitere einheitliche Drehung über

y

$y$ , erzeugt durch

e^{- i β σ_{y}}

$e^{-i\beta\sigma_y}$ kann entweder die loswerden

σ_{x}

$\sigma_x$ oder der

σ_{z}

$\sigma_z$ Begriff.

Beachten Sie, dass meine $U$ ist keine einheitliche Transformation: Ihre $M$ ist auch nicht hermitesch, also muss etwas geben. $U$ ist eine Neuskalierung der ursprünglichen Basisvektoren, wobei der eine gestreckt und der andere gestaucht wird. Die transformierten Basisvektoren bleiben orthogonal, haben aber nicht mehr die Länge 1. Die transformierten $M$ ist wie gewünscht hermitesch.

Diese Art der „Diagonalisierung“ eines nicht-hermiteschen Operators unter Verwendung einer nicht-einheitlichen Transformation wird in untersucht

Rashid MA. Die intelligenten Staaten. I. Gruppentheoretische Untersuchung und Berechnung von Matrixelementen. Zeitschrift für Mathematische Physik . 1978 Jun;19(6):1391-6.

Intelligente Zustände sind Zustände, die die unsicheren Beziehungen sättigen; sie sind Eigenzustände eines nicht-hermiteschen Operators.

Trägheitsbeobachter · Answer 2

Wir wollen eine Grundlage finden, in der

(\begin{matrix} v_{1} \\ v_{2} \end{matrix}) = \underset{:= M}{\underset{⏟}{(\begin{array}{cc} (1 + ϵ_{1}) / ω_{1}^{2} & - ϵ_{1} / ω_{1}^{2} \\ - ϵ_{2} / ω_{2}^{2} & (1 + ϵ_{2}) / ω_{2}^{2} \end{array})}} (\begin{matrix} {\ddot{v}}_{1} \\ {\ddot{v}}_{2} \end{matrix})

$\left( \begin{array}{c} V_1 \\ V_2 \end{array} \right) = \underbrace{\left( \begin{array}{cc} (1 + \epsilon_1)/\omega_1^2 & - \epsilon_1 / \omega_1^2 \\ - \epsilon_2 / \omega_2^2 & (1 + \epsilon_2)/\omega_2^2 \\ \end{array} \right)}_{:= M} \left( \begin{array}{c} \ddot{V}_1 \\ \ddot{V}_2 \end{array} \right) \,$

diagonal ist. Dies ist nur möglich, wenn die Eigenwerte von $M$ sind verschieden.

Gliederung : Wir wollen diagonalisieren $M$ , aber wir müssen zuerst herausfinden, ob dies möglich ist. Es ist möglich, wenn $M$ hat verschiedene Eigenwerte. Unter Verwendung der Tatsachen, die

T R (M) = λ_{1} + λ_{2} = \frac{1 + ϵ_{1}}{ω_{1}^{2}} + \frac{1 + ϵ_{2}}{ω_{2}^{2}}

$tr(M) = \lambda_1 + \lambda_2 = \frac{1+\epsilon_1}{\omega_1^2}+ \frac{1+\epsilon_2}{\omega_2^2}$

det (M) = λ_{1} λ_{2} = \frac{(1 + ϵ_{1}) (1 + ϵ_{2})}{ω_{1}^{2} ω_{2}^{2}} + \frac{ϵ_{1} ϵ_{2}}{ω_{1}^{2} ω_{2}^{2}}

$\det(M) = \lambda_1\lambda_2 = \frac{(1+\epsilon_1)(1+\epsilon_2)}{\omega_1^2\omega_2^2}{} + \frac{\epsilon_1\epsilon_2}{\omega_1^2\omega_2^2}$

was uns die Eigenwerte liefert

{λ_{1}, λ_{2}} = {\frac{- \sqrt{(- ϵ_{2} ω_{1} - ϵ_{1} ω_{2} - ω_{2} - ω_{1})^{2} - 4 (ϵ_{2} ω_{2} ω_{1} + ϵ_{1} ω_{2} ω_{1} + ω_{2} ω_{1})} + ϵ_{2} ω_{1} + ϵ_{1} ω_{2} + ω_{2} + ω_{1}}{2 ω_{2} ω_{1}}, \frac{\sqrt{(- ϵ_{2} ω_{1} - ϵ_{1} ω_{2} - ω_{2} - ω_{1})^{2} - 4 (ϵ_{2} ω_{2} ω_{1} + ϵ_{1} ω_{2} ω_{1} + ω_{2} ω_{1})} + ϵ_{2} ω_{1} + ϵ_{1} ω_{2} + ω_{2} + ω_{1}}{2 ω_{2} ω_{1}}}

$\{\lambda_1, \lambda_2\}= \\ \left\{\frac{-\sqrt{(-\epsilon_2 \omega_1 -\epsilon_1 \omega_2-\omega_2-\omega_1 )^2-4 (\epsilon_2 \omega_2 \omega_1 +\epsilon_1 \omega_2 \omega_1 +\omega_2 \omega_1 )}+\epsilon_2 \omega_1 +\epsilon_1 \omega_2+\omega_2+\omega_1 }{2 \omega_2 \omega_1 },\\ \frac{\sqrt{(-\epsilon_2 \omega_1 -\epsilon_1 \omega_2-\omega_2-\omega_1 )^2-4 (\epsilon_2 \omega_2 \omega_1 +\epsilon_1 \omega_2 \omega_1 +\omega_2 \omega_1 )}+\epsilon_2 \omega_1 +\epsilon_1 \omega_2+\omega_2+\omega_1 }{2 \omega_2 \omega_1 }\right\}$

die im Allgemeinen verschieden sind. Es geht also darum, eine geeignete Transformationsmatrix zu finden $S$ so dass $M$ ist diagonal (Die Spalten von $S$ sind die Eigenvektoren von $M$ ).

Beschriften Sie nun die Zustände in der neuen Basis mit Strichen. Dann gehen wir zur neuen Basis

S (\begin{matrix} v_{1} \\ v_{2} \end{matrix}) = S (\begin{array}{cc} (1 + ϵ_{1}) / ω_{1}^{2} & - ϵ_{1} / ω_{1}^{2} \\ - ϵ_{2} / ω_{2}^{2} & (1 + ϵ_{2}) / ω_{2}^{2} \end{array}) S^{- 1} S (\begin{matrix} {\ddot{v}}_{1} \\ {\ddot{v}}_{2} \end{matrix})

$S \left( \begin{array}{c} V_1 \\ V_2 \end{array} \right) = S\left( \begin{array}{cc} (1 + \epsilon_1)/\omega_1^2 & - \epsilon_1 / \omega_1^2 \\ - \epsilon_2 / \omega_2^2 & (1 + \epsilon_2)/\omega_2^2 \\ \end{array} \right)S^{-1}S \left( \begin{array}{c} \ddot{V}_1 \\ \ddot{V}_2 \end{array} \right) \,$

wird

(\begin{matrix} v_{1}^{'} \\ v_{2}^{'} \end{matrix}) = (\begin{matrix} λ_{1} & 0 \\ 0 & λ_{2} \end{matrix}) (\begin{matrix} {\ddot{v^{'}}}_{1} \\ {\ddot{v^{'}}}_{2} \end{matrix})

$\left( \begin{array}{c} V'_1 \\ V'_2 \end{array} \right) = \begin{pmatrix} \lambda_1 & 0 \\ 0 & \lambda_2 \end{pmatrix} \left( \begin{array}{c} \ddot{V'}_1 \\ \ddot{V'}_2 \end{array} \right)$

und so sind unsere Gleichungen in dieser Basis entkoppelt.

Dies beantwortet die Frage nicht. Die Frage lautet, ob es einen systematischen Weg gibt, mit der zusätzlichen Komplexität umzugehen, die entsteht, wenn die Oszillatoren nicht identisch sind. Diese Antwort gibt die Eigenwerte an, versucht jedoch nicht, sie zu vereinfachen, z. B. indem nützliche Größen definiert werden, die zwischen den beiden Ausdrücken geteilt werden. Diese Antwort erklärt auch nicht, wie die fehlende Symmetrie formal aufgelöst werden kann.

Elio Fabri · Answer 3

Gibt es eine Transformation, bei der wir uns bewerben können? $(*)$ um es in eine einfache Form zu bringen wie $(**)$ sodass die Modusanalyse zu einfacheren Gleichungen führt?

Eigentlich gibt es das, aber es ist keine einfache Neuskalierung. Vielleicht ist der einfachste Weg, um zu sehen, was zu tun ist, in zwei Schritten vorzugehen. Zunächst eine Substitution $V_2=k\,V_2'$ lässt unveränderte Diagonalelemente, macht aber für einige Terme außerhalb der Diagonale einander gleich $k$ .

Jetzt ist die Matrix eine Linearkombination von $\Bbb I$ , $\sigma_1$ , $\sigma_3$ und es sollte nicht schwierig sein, Eigenwerte und Eigenvektoren zu finden,

Hoffe das beantwortet auch deine Frage.

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