Symmetrien quasinormaler Moden des Kerr-Schwarzen Lochs

Ich habe diesen folgenden Artikel über die numerische Entwicklung der Teukolsky-Gleichung (siehe zB Eq 1 in ihrem Artikel) für Spin-2-Felder über eine Lösung eines sich drehenden Schwarzen Lochs (Kerr) gelesen.

Da die Teukolsky-Gleichung axialsymmetrisch ist, können die Autoren ausklammern$\phi$Abhängigkeit, indem Sie die Lösung in das Formular schreiben

$$\begin{equation} \Psi_4(t,r,\theta,\phi)=\psi_m(t,r,\theta) e^{im\phi} \end{equation}$$

und löse die reduzierte Teukolsky-Gleichung für jede Winkelzahl$m$.

Die Autoren in Abschnitt IVB ihrer Arbeit extrahieren den quasinormalen Ringdown aus ihren numerischen Simulationen, die wiederum durch Auflösen nach einem bestimmten erhalten werden$\psi_m$. Ich bin verwirrt über die folgenden zwei Absätze in ihrem Artikel über das Ringdown-Signal, das sie in ihrem Code extrahieren (QNM==quasinormale Modi).

Interessanterweise stellen wir fest, dass die numerisch extrahierten QNM-Frequenzen für Nicht-Null-m nicht vom Vorzeichen von m abhängen, dh wir erhalten die gleichen Werte für die QNM-Frequenzen aus Entwicklungen für zB m=±1. Dies ist auf den ersten Blick überraschend, da es etablierten Ergebnissen zu widersprechen scheint. Nach z. B. Detweiler [8] sollten die Imaginärteile der Moden m= +1 und m=−1 mit zunehmender Größe ganz unterschiedlich werden.

Glücklicherweise ist die Antwort einfach: Die Frequenzen sowohl des m- als auch des −m-QNM sind in einer typischen Evolution vorhanden.

Sie sagen dann weiter, dass für die Teukolsky-Gleichung die QNM-Eigenfunktionen die folgende Symmetrie haben (was sich leicht als wahr verifizieren lässt, wenn man sich die Form der Teukolsky-Gleichung ansieht; hier ist das erste Argument die quasinormale Frequenz)

$$\begin{equation} \Psi_{l,m}(\omega,r,\theta)=\left[\Psi_{l,-m}(-\omega^*,r,\theta)\right]^* \end{equation}$$

Insbesondere dann ein Modus mit Winkelzahlen$(l,m)$ist gleich dem negativ komplex Konjugierten eines Modus mit Winkelzahlen$(l,-m)$.

Ich verstehe nicht, warum der Code, den diese Autoren schreiben, diese Modi zu erregen scheint, und warum zum Beispiel ihr Code damit$m=-|m|$, regt die anderen quasinormalen Moden nicht merklich an$m=-|m|$.

BEARBEITEN:

Was ich frage, ist, ob es ein Rezept für die Berechnung von Anfangsdaten gibt$\psi_m$wofür$\psi_m$kompakt auf der anfänglichen Datenoberfläche gestützt wird, und das vorzugsweise bestimmte quasinormale Moden im Gegensatz zu anderen anregt. Ich nehme an, ich könnte eine exakte quasinormale Moduslösung für die Teukolsky-Gleichung mit einer Bump-Funktion auf der Anfangsdatenoberfläche falten, aber ich frage mich, ob es einen eleganteren Satz von Anfangsdaten gibt, die man verwenden könnte.