Gibt es einen Birkhoff-ähnlichen Satz für stationäre axialsymmetrische Metriken?

1. Beachte das erstmal$U(1)$Axialsymmetrie ist viel kleiner als$SO(3)$sphärische Symmetrie.

2. (Lassen Sie uns die kosmologische Konstante setzen$\Lambda=0$auf Null.) Während kugelsymmetrische Vakuumlösungen statisch sind und es keine kugelsymmetrischen Gravitationswellen gibt, sind die achsensymmetrischen Vakuumlösungen nicht unbedingt stationär und es gibt achsensymmetrische Gravitationswellen. Auch wenn die rotationssymmetrische Vakuumlösung zusätzlich als stationär oder statisch angenommen wird, bleibt noch zu viel Freiheit. Daher gibt es keine axialsymmetrische Version des Satzes von Birkhoff .

3. Die folgende elektrostatische Analogie mit der 3D-Poisson-Gleichung ist aufschlussreich: Sphärisch symmetrische Lösungen$\phi$zur Laplace-Gleichung sind auf gerade beschränkt$\phi= Ar^2+B/r$. Andererseits haben wir für axialsymmetrische Lösungen der Laplace-Gleichung in Zylinderkoordinaten keine Kontrolle über die$z$-Abhängigkeit.

Nichts ist so stark wie das Birkhoff-Theorem im Fall von Stationarität und Achsensymmetrie. Beachten Sie, dass das Birkhoff-Theorem in seiner stärksten Form wie folgt ausgedrückt werden kann:

„ Wenn auch nur ein Stück der Raumzeit kugelsymmetrisch und ein Vakuum ist, dann ist es ein Stück der Schwarzschild-Raumzeit. “

Es gibt verschiedene Sätze über axialsymmetrische und stationäre Raumzeiten, die besagen, dass wir unter verschiedenen Bedingungen wie zB Regelmäßigkeit außerhalb und am Horizont, Verbundenheit des Horizonts, asymptotische Flachheit und globales Vakuum auf Kerr reduzieren. Das heißt, mit einem gewissen Spielraum des Physikerglaubens können wir Argumente konstruieren, dass die Kerr-Raumzeit als vernünftiges, global striktes Vakuum und asymptotisch flache Raumzeit einzigartig ist.

Wir kennen jedoch keine vernünftige Materielösung, die als "äußere" Lösung zur Kerr-Raumzeit passen würde. Geroch hat sogar vermutet, dass es keine "innere" Lösung für die Kerr-Metrik gibt, dh einen Nicht-Schwarzloch-Stern, der sich außerhalb seiner Oberfläche auf Kerr reduzieren würde. (Ich persönlich glaube, dass Gerochs Vermutung wahr ist.)

Wenn wir in der Praxis Lösungen von Neutronensternen konstruieren, stellen wir fest, dass sie sich immer vom Kerr-Fall in den Quadrupol- und höheren Masse-Multipol-Impulsen der Raumzeit unterscheiden, und wir müssen sie an näherungsweise konstruierte Nicht-Kerr-Metriken anpassen. Das heißt, wenn wir nicht global leer sind, ist die Einzigartigkeit von Kerr mit Sicherheit gebrochen.

Es gibt sogar eine ziemlich bekannte Klasse von Lösungen , die 1992 von Manko & Novikov abgeleitet wurden und die es ermöglichen, alle unendlichen asymptotischen Werte von Massen-Multipol-Impulsen auf beliebige Werte zu setzen. Dies geht jedoch auf Kosten seltsamer Singularitäten am Horizont und/oder singulärer Materiequellen außerhalb davon. Wenn Sie einen einfacheren Spielplatz suchen, um eine gewisse Intuition zu erlangen, können Sie sich die axialsymmetrischen und statischen Weyl-Metriken ansehen , in die Sie jedes Newtonsche (axialsymmetrische und stationäre) Gravitationspotential einstecken können, um eine neue Raumzeit zu erzeugen, die von Kerr in seinem Vakuum abweicht Regionen.

Nein. Der entscheidende Punkt ist der (im Allgemeinen) Nicht-Null-Wert der Multipolmodi.

Physikalisch muss betont werden, dass es kein Birkhoff-Theorem für rotierende Raumzeiten gibt – es stimmt nicht, dass die Raumzeitgeometrie in der Vakuumregion außerhalb eines generischen rotierenden Sterns (oder Planeten) ein Teil der Kerr-Geometrie ist. Das beste Ergebnis, das man erhalten kann, ist die viel mildere Aussage, dass sich die Geometrie außerhalb eines rotierenden Sterns (oder Planeten) asymptotisch der Kerr-Geometrie nähert. Das Grundproblem besteht darin, dass in der Kerr-Geometrie alle Multipolmomente sehr eng miteinander verbunden sind, während in realen physikalischen Sternen (oder Planeten) Massenquadrupol, Oktopol und höhere Momente der Massenverteilung im Prinzip unabhängig voneinander angegeben werden können. Aus dem Elektromagnetismus werden Sie sich natürlich daran erinnern, dass höhere n-Pol-Felder als 1/r^{2+n} abfallen, so dass weit entfernt vom Objekt die niedrigsten Multipole dominieren. In diesem asymptotischen Sinne ist die Kerr-Geometrie für rotierende Sterne oder Planeten relevant. Wenn andererseits der Stern (oder Planet) durch Gravitation kollabiert, kann klassischerweise ein Schwarzes Loch entstehen. In diesem Fall gibt es eine Reihe mächtiger Eindeutigkeitstheoreme, die die direkte physikalische Relevanz der Kerr-Raumzeit garantieren, jedoch als die eindeutige exakte Lösung, die stationären rotierenden Schwarzen Löchern entspricht (im Gegensatz zu einer bloßen asymptotischen Lösung für das ferne Rotationsfeld). Sterne oder Planeten)

Quelle: Visser (2008)