Satz von Birkhoff im allgemeinen Aufbau (r2→e2γ(r)r2→e2γ(r)r^2 \rightarrow e^{2\gamma(r)})

Ich versuche, den Satz von Birkhoff im allgemeinen Aufbau zu beweisen.

Der Satz von Birkhoff besagt, dass jede kugelsymmetrische Vakuumlösung der Einsteinschen Feldgleichung das Schwarzschild ist. (dh es heißt, dass sphärisch symmetrische Vakuumlösungen statisch, asymptotisch flach zulassen)

Das erste kenne ich aus dem klassischen Lehrbuch Carroll

$$\begin{align} ds^2 = - e^{2\alpha(t,r)} dt^2 + e^{2\beta(t,r)} dr^2 + r^2 d\Omega^2 \end{align}$$ und Berechnung von Ricci-Tensoren, dh$R_{01}=0$ $\beta(t,r) = \beta(r)$und die anderen Kombinationen ergibt$\alpha = -\beta$.

Ich finde$r^2$Terme können auch auf einige Funktionen verallgemeinert werden, also habe ich die folgende metrische Form versucht

$$\begin{align} ds^2 = - e^{2\alpha(t,r)} dt^2 + e^{2\beta(t,r)} dr^2 + e^{2\gamma(r,t)} d\Omega^2 \end{align}$$ aber die Situation ist nicht die gleiche. Für diesen Fall $$\begin{align} R_{tr} = 2 \gamma' (\dot{\beta} - \dot{\gamma}) + 2 \alpha' \dot{\gamma} - 2 \dot{\gamma}' \end{align}$$ wobei Prime r-Ableitung und Punkt Zeitableitungen bedeutet. Aufgrund der Zeitabhängigkeit von$\gamma$, daraus können wir nicht herausrechnen$\beta(r,t) = \beta(r)$mehr.

Ich denke, vielleicht ist die "t" -Abhängigkeit vom Winkelteil problematisch, also ist meine nächste metrische Form

$$\begin{align} ds^2 = - e^{2\alpha(t,r)} dt^2 + e^{2\beta(t,r)} dr^2 + e^{2\gamma(r)} d\Omega^2 \end{align}$$ und berechne entsprechende Ricci-Tensoren. [Diese Metrik scheint in Ordnung zu sein, weil sie nichts anderes als eine isotrope Form von Carrolls Lehrbuch ist]

$$\begin{align} &R_{tt} = e^{2(\alpha-\beta)} \left( 2\gamma' \alpha' + (\alpha')^2 - \alpha' \beta' + \alpha'' \right) + \dot{\alpha} \dot{\beta} - (\dot{\beta})^2 -\ddot{\beta} \\ &R_{tr}= 2 \gamma' \dot{\beta} \\ & R_{rr} = - 2 (\gamma')^2 - 2 \gamma'' + 2 \gamma' \beta' + (- (\alpha')^2 + \alpha' \beta' - \alpha'') + e^{2(\beta - \alpha)} ( -\dot{\alpha} \dot{\beta} + (\dot{\beta})^2 + \ddot{\beta}) \\ & R_{\theta \theta} = 1 - e^{2(\gamma-\beta)} \left( - 2 (\gamma')^2 - \gamma'' - \gamma'(\alpha' - \beta') \right) \\ & R_{\varphi \varphi} = \sin^2(\theta) R_{\theta \theta} \end{align}$$

Eine triviale ergibt sich aus$R_{tr}=0$Ist$\beta(t,r) = \beta(r)$. Also war ich glücklich

Aus$R_{tt}=0$wir haben

$$\begin{align} 2\gamma' \alpha' + (\alpha')^2 - \alpha'\beta' + \alpha'' =0 \end{align}$$ Und von $$\begin{align} 0= e^{2(\beta-\alpha)} R_{tt} + R_{rr} = - 2(\gamma')^2 - 2 \gamma'' + 2 \gamma' (\alpha'+\beta') \end{align}$$ und von$R_{\theta \theta}=0$, $$\begin{align} e^{2(\beta-\gamma)} = - 2 (\gamma')^2 - \gamma'' - \gamma'(\alpha' - \beta') \end{align}$$

Natürlich weiß ich das$e^{2\gamma} =r^2$ist eine Lösung für$\gamma$und in diesem Fall reduziert es die Schwarzschild-Metrik, aber ich mache mir Sorgen, ob das so ist$e^{2\gamma} = r^2$ist eine einzigartige Lösung für$\gamma$.

Auf dieser Ebene scheint es keine Möglichkeiten zu geben, dies zu bestimmen$e^{2\gamma} =r^2$aus den Gleichungen. Kann sich jemand dazu äußern$e^{2\gamma}$aufstellen?