Metrische Lösung nach Schwarzschild: Einsteins Feldgleichungen scheinen überflüssig

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Metrische Lösung nach Schwarzschild: Einsteins Feldgleichungen scheinen überflüssig

Napasai

Einstein hat sich viel Mühe gegeben, den Spannungs-Energie-Tensor mit dem Ricci-Tensor (und dem Krümmungsskalar) zu verknüpfen.

Schneller Vorlauf zur Verwendung der Allgemeinen Relativitätstheorie für die Schwarzschild-Lösung. - Diese schönen Feldgleichungen werden auf beiden Seiten auf Null reduziert, dh Ricci geht auf Null. - Symmetrie-Argumente werden verwendet, um einige Grenzen für die Metrik zu erstellen. ... und die Antwort stecken wir einfach ein! (schwache Feldnäherung)

Ist das für andere zutiefst unbefriedigend? Ich hatte an die Allgemeine Relativitätstheorie gedacht als: Energie (T-Tensor) erzeugt die Krümmung (R-Tensor), die die Geodäten verändert, und heyho, wir sehen die Schwerkraft. Aber die Schwarzschild-Lösung hat die Schwerkraft mit Ricci auf Null. Wie kann das sein? Und welchen Sinn hatte Einstein, seine Feldgleichungen zu perfektionieren?

Benutzer107153

Der Punkt war, dass nicht alle Lösungen Vakuumlösungen sind, geschweige denn Vakuumlösungen mit sehr hoher Symmetrie. Und für Vakuumlösungen legen die Gleichungen starke Einschränkungen für die Krümmung fest (nämlich das

R_{i j} = 0

$R_{ij} = 0$ ).

Benutzer146020

Können Sie sich eine reale Version der Schwarzchild-Lösung ohne Drehimpuls vorstellen? Der Sinn dieses Ansatzes besteht meines Wissens darin, die Grundlagen eines Spielzeugmodells zu vermitteln und zu vermitteln, welche Begriffe in der Metrik mit bestimmten physikalischen Vorstellungen wie der Masse des Sterns in Verbindung gebracht werden können. Es war auch die erste Lösung der Anwendung der Feldgleichungen, daher hat es historische Bedeutung. Wie Sie wissen, haben sich die Dinge von vor 100 Jahren bis zu den jüngsten LIGO-Experimenten weiterentwickelt.

Napasai

Fair genug Counto10. Mir ist klar, dass das Modell ein Modell ist. Aber wie kann man mit Ricci auf Null G00 ohne Wirkung von T00 aus der Ferne verzerren? Ich weiß, dass ich das FALSCH habe. Das tue ich wirklich. Ich möchte nur verstehen, wie Einsteins Gleichungen die Kraft in der Ferne berücksichtigen (ohne einfach die Antwort einzustecken, wie es bei Schwarz der Fall ist.)

wiskundeliefhebber

Ein zusätzlicher Kommentar ist, dass der Ricci-Tensor nicht überall Null ist: Er ist an der Punktmasse unendlich.

Napasai

Wiskundelief.. Absolut. Das macht Sinn. Ich kämpfe mit dem Mechanismus, der es diesem unendlichen Ricci an einem Punkt ermöglicht, die Krümmung der Raumzeit an einem anderen Punkt zu beeinflussen. Die Einstein-Feldgleichungen scheinen von sehr lokaler Natur zu sein.

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Metrische Lösung nach Schwarzschild: Einsteins Feldgleichungen scheinen überflüssig

Der Punkt war, dass nicht alle Lösungen Vakuumlösungen sind, geschweige denn Vakuumlösungen mit sehr hoher Symmetrie. Und für Vakuumlösungen legen die Gleichungen starke Einschränkungen für die Krümmung fest (nämlich das $R_{ij} = 0$ ).
Können Sie sich eine reale Version der Schwarzchild-Lösung ohne Drehimpuls vorstellen? Der Sinn dieses Ansatzes besteht meines Wissens darin, die Grundlagen eines Spielzeugmodells zu vermitteln und zu vermitteln, welche Begriffe in der Metrik mit bestimmten physikalischen Vorstellungen wie der Masse des Sterns in Verbindung gebracht werden können. Es war auch die erste Lösung der Anwendung der Feldgleichungen, daher hat es historische Bedeutung. Wie Sie wissen, haben sich die Dinge von vor 100 Jahren bis zu den jüngsten LIGO-Experimenten weiterentwickelt.
Fair genug Counto10. Mir ist klar, dass das Modell ein Modell ist. Aber wie kann man mit Ricci auf Null G00 ohne Wirkung von T00 aus der Ferne verzerren? Ich weiß, dass ich das FALSCH habe. Das tue ich wirklich. Ich möchte nur verstehen, wie Einsteins Gleichungen die Kraft in der Ferne berücksichtigen (ohne einfach die Antwort einzustecken, wie es bei Schwarz der Fall ist.)
Ein zusätzlicher Kommentar ist, dass der Ricci-Tensor nicht überall Null ist: Er ist an der Punktmasse unendlich.
Wiskundelief.. Absolut. Das macht Sinn. Ich kämpfe mit dem Mechanismus, der es diesem unendlichen Ricci an einem Punkt ermöglicht, die Krümmung der Raumzeit an einem anderen Punkt zu beeinflussen. Die Einstein-Feldgleichungen scheinen von sehr lokaler Natur zu sein.

JamalS · Answer 1

Die Einstein-Feldgleichungen lauten:

R_{μ v} - \frac{1}{2} G_{μ v} R = 8 π T_{μ v}

$R_{\mu\nu} -\frac12 g_{\mu\nu}R = 8\pi \, T_{\mu\nu}$

für eine Sache, die durch einen Spannungs-Energie-Tensor beschrieben wird, $T_{\mu\nu}$ . Die Schwarzschild-Lösung, die ein nicht rotierendes, neutrales Schwarzes Loch beschreibt, entspricht einer Ricci-Flat ( $R_{\mu\nu} = 0$ ) Lösung der Einsteinschen Feldgleichungen und kann mit einem kugelsymmetrischen Ansatz hergeleitet werden .

Nichts davon bedeutet, dass die Einstein-Feldgleichungen redundant sind; erinnere dich daran $R_{\mu\nu} = 0$ die die Einstein-Feldgleichung für eine Vakuumlösung ist, stellt Bedingungen an den Ansatz für die Schwarzschild-Metrik und wird für die Ableitung benötigt.

Was würde Sie also dazu bringen, zu glauben, dass die allgemeinen Einstein-Feldgleichungen überflüssig sind? Angenommen, ich gebe Ihnen etwas Stress-Energie $T_{\mu\nu}$ ; was wirst du verwenden, um zu finden $g_{\mu\nu}$ ? Im Allgemeinen werden es neben der Störungstheorie die Einsteinschen Feldgleichungen sein.

Es gibt andere fortgeschrittene Techniken zur Beschreibung von Lösungen, aber diese basieren beispielsweise auf Lie-Symmetrien der Einstein-Feldgleichungen oder Generierungstechniken, die auf der Kenntnis des Verhaltens und der Eigenschaften von Lösungen der Einstein-Feldgleichungen beruhen.

Unabhängig davon, welche Methode Sie verwenden, können sie alle irgendwie mit etwas verbunden sein, das dies erfordert $G_{\mu\nu} = 8\pi \, T_{\mu\nu}$ .

Vielen Dank Jamal. Ich merke, dass mir etwas fehlt. Womit ich zu kämpfen habe, liegt wahrscheinlich an meiner Unwissenheit. Ich weiß nicht, wie ich die Symboleingabe verwenden soll, also verzeihen Sie meine klobige Schreibweise.
Vielen Dank Jamal. Ich merke, dass mir etwas fehlt. Womit ich zu kämpfen habe, liegt an meiner Unwissenheit. Ich weiß nicht, wie ich die Symboleingabe verwenden soll, also verzeihen Sie meine klobige Schreibweise. Mein Problem ist, dass T00 in jeder Entfernung von einer Punktmasse Null ist. R00 ist also Null. Ich habe die Annahme des schwachen Felds durchgearbeitet und festgestellt, dass R00 mit der zweiten Ableitung von g00 verknüpft ist, sodass auch diese Null ist. Das bedeutet, dass die erste Ableitung von g00 eine Konstante (oder Null) sein muss. Aber sicherlich muss die erste Ableitung von g00 für die Schwerkraft mit 1/r^2 variieren? Wie berücksichtigen Einsteins Gleichungen Kraft in der Ferne?

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