Geometriemessungen der Raumzeit in einer extrem dichten Kugelschale

Von http://jila.colorado.edu/~ajsh/bh/schwp.html Der Betrag, um den der radiale Abstand "gequetscht" wird, ist:

1 1 − R S / R

wobei der Schwarzschild-Radialabstand (oder "Umfangsradius") r der Punkt ist, an dem sich der gemessene Umfang befindet 2 π R und der Schwarzschild-Radius ist

R S = 2 G M / C 2

ist der Scharzchild-Radius, bei dem wir ein Schwarzes Loch für diese Menge an Masse erhalten ( M ). Der Betrag, um den die Zeit gedehnt wird, ist das Gegenteil davon (so ziemlich ähnlich wie bei sich bewegenden Objekten im flachen Raum). Normalerweise wird diese Gleichung über dr integriert, um den Gesamtabstand zwischen 2 Punkten in der Nähe eines dichten Gravitationskörpers zu berechnen.

Nehmen wir an, wir haben eine dünne Kugelschale, die dicht genug ist, um unmittelbar über der Oberfläche eine Zeitdilatation von 50% zu erzielen, was meiner Meinung nach herauskommt

R = ( 4 / 3 ) R S

Der radiale Abstand wird ebenfalls um 50% gestaucht (obwohl manche Leute dies als "Expansion" bezeichnen, da Sie relativ zum Referenzrahmen außerhalb dieser Gravitationsquelle mehr in den gleichen Raum passen) und der Umfang der Außenseite der Kugel wird sein

2 π ( 4 / 3 ) R S

Nach dem Theorem von Birchoff sollte das scheinbare Gravitationsfeld im Inneren Null sein (genau wie bei der Newtonschen Gravitation).

Gemäß einer Antwort auf die Frage bei Erweitert eine massive Kugelschale die Zeit in sich selbst? , "Gravitationszeitdilatation hängt vom Gravitationspotential ab", sollte also im Inneren gleich sein (was seit bedeutet, wenn Sie an die Photonen-Rotverschiebung als Hinweis auf die Zeitdifferenz denken).

Es scheint, als hätten Sie auch im Inneren immer noch die gleiche Längenkontraktion (wenn es genauso ein Effekt des Gravitationspotentials ist wie die Zeitdilatation), aber es wäre in alle Richtungen gleich, was impliziert, dass der gemessene Innenumfang der Kugel wäre der doppelte Außenumfang (also 2 ( 2 π ( 4 / 3 ) R S ) ) und der innere (gemessene) Radius wäre 2 ( ( 4 / 3 ) R S ) .

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Habe das LaTeX reinbekommen ... viel einfacher als ich dachte.
Bitte beachten Sie, dass der Abschnitt „Schwarzschild-Metrik“ im ersten Link falsch ist.
was ist damit besonders? Ein Tippfehler in der Gleichung für die Schwarzschild-Metrik selbst?

Antworten (1)

Wie in Über ein häufiges Missverständnis des Birkhoff-Theorems angegeben :

In der Newtonschen Gravitation (NG) ist bekannt, dass das Gravitationsfeld überall innerhalb einer kugelsymmetrischen Massenverteilung nur durch die eingeschlossene Masse bestimmt wird. Dies gilt auch allgemein für die allgemeine Relativitätstheorie (GR), und das Birkhoff-Theorem wird oft herangezogen, um diese Analogie zwischen NG und GR zu stützen. Hier zeigen wir, dass ein solches Verständnis des Birkhoff-Theorems falsch ist [...] Die korrekte Metrik, die kontinuierlich zum Standort eines externen Beobachters passt, wird sowohl durch die eingeschlossene Masse als auch durch die Massenverteilung außerhalb bestimmt. Die äußere Masse bewirkt, dass die innere Uhr langsamer läuft [...]

Weiter im Abschnitt 2.0 zeigt der Autor, dass „ der Zeitterm der Metrik immer kontinuierlich beibehalten wird, der Raumterm jedoch nicht “. Innerhalb einer leeren Hülle gibt es keine Längenkontraktion oder -ausdehnung, sondern nur Zeitdilatation.

Nur um sicherzugehen, dass ich das verstehe, wenn der Umfang außerhalb der Kugel liegt 2 π ( 4 / 3 ) R S , der Innenumfang ist gleich und der gemessene Innenradius ist gleich ( 4 / 3 ) R S aber die Zeitdilatation wird immer noch bei 50 % liegen. Dies ist dasselbe wie unmittelbar außerhalb, wo es auch eine 50%ige radiale Längenkontraktion gibt. Richtig?
Ja, das ist richtig, außer dass es sich um eine radiale Längenausdehnung statt einer Kontraktion nach außen handelt. Je näher Sie dem Ereignishorizont kommen, desto weiter "sehen" Sie, wie er sich von Ihnen entfernt. Wenn Sie wirklich nah dran sind, scheint es Lichtjahre entfernt zu sein. Bitte beachten Sie auch, dass 50 % nur für eine statische Schale gültig sind. Das Konzept bleibt für eine zusammenbrechende Hülle gleich, aber der Prozentsatz wäre anders. Siehe die Antwort von AVS auf: physical.stackexchange.com/questions/414695/…
Danke für den Link und die Erklärung. Das hat mich schon eine Weile genervt und die einzige Antwort, die ich gefunden habe, stellte sich als falsch heraus. Ich betrachte es als "Kontraktion", weil es relativ zum äußeren Referenzrahmen kontrahiert ist, also bin ich froh, dass Sie ein Beispiel zur Verdeutlichung einfügen. Ihre Antwort wirft jedoch eine andere Frage auf: Wie schafft es etwas je nach seinem eigenen Bezugsrahmen in ein Schwarzes Loch, wenn sich der Raum davor immer weiter exponentiell ausdehnt, während es sich dem Ereignishorizont nähert? Ist der prozentuale Unterschied für eine kollabierende Kugel auch auf das Ziehen von Frames zurückzuführen?
@DustinSoodak Ich habe nicht nachgerechnet (obwohl es nicht kompliziert ist), aber intuitiv "sieht" man den so weit entfernten Ereignishorizont nur, wenn man mit Raketentriebwerken darüber schwebt, um sich festzuhalten. Wenn Sie sich jedoch im freien Fall befinden, nähert sich Ihre Geschwindigkeit der Lichtgeschwindigkeit und die Längenkontraktion aufgrund der relativistischen Geschwindigkeit hebt die gravitative Längenausdehnung auf. Der Unterschied ( F ( T ) im Link, 50% für R ˙ = 0 ) für eine kollabierende Kugel ist auch auf die relativistische Geschwindigkeit des Kollapses zurückzuführen ( R ˙ ). Das Ziehen von Rahmen bezieht sich auf die Drehung, aber in diesem Fall gibt es keine.
Laut einem externen Beobachter werden Sie es vielleicht nie erreichen, aber von Ihrem Bezugsrahmen aus wird die relativistische Längenkontraktion in Ihrer Bewegungsrichtung die Expansion übertreffen. Ich habe nicht daran gedacht, SR-Effekte hinzuzufügen.
@DustinSoodak Das ist richtig, außer genau am Horizont, wo der einfallende Beobachter keinen gültigen Rahmen hat. Siehe (z. B. Abschnitt 3) hier: arxiv.org/pdf/0804.3619.pdf - (Ich habe auch ein paar Ihrer älteren Fragen beantwortet, falls Sie dies überprüfen möchten.)
Geometriemessungen der Raumzeit in einer extrem dichten Kugelschale
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