Gravitationszeitdilatation und Schwarzschildkoordinaten

Also versuche ich, diese Gleichung für die Zeitdilatation eines Objekts zu verwenden, aber ich weiß nicht, wie ich die Entfernung, die ich (in Metern) zu einer radialen Koordinate in Schwarzschild-Koordinaten habe, erhalte. Wie kann ich das machen?

T 0 = T F 1 − 2 G M R C 2 = T F 1 − R S R

Wo

  • T 0 ist die Eigenzeit zwischen den Ereignissen A und B für einen langsam tickenden Beobachter innerhalb des Gravitationsfeldes

  • T F ist die Koordinatenzeit zwischen den Ereignissen A und B für einen schnell tickenden Beobachter in beliebig großer Entfernung von dem massiven Objekt (dies setzt voraus, dass der schnell tickende Beobachter Schwarzschildkoordinaten verwendet, ein Koordinatensystem, in dem eine Uhr in unendlicher Entfernung von der massiven Kugel steht würde mit einer Sekunde pro Sekunde der Koordinatenzeit ticken, während nähere Uhren mit weniger als dieser Rate ticken würden),

  • G ist die Gravitationskonstante,

  • M ist die Masse des Objekts, das das Gravitationsfeld erzeugt,

  • R ist die radiale Koordinate des Beobachters (die analog zum klassischen Abstand vom Mittelpunkt des Objekts ist, aber eigentlich eine Schwarzschild-Koordinate ist),

  • C ist die Lichtgeschwindigkeit, und

  • R S = 2 G M / C 2 ist der Schwarzschild-Radius von M.

Es ist nicht offensichtlich, was Sie fragen. Fragen Sie genau nach der Schwarzschild-Radialkoordinate? R ist definiert?
Die Schwarzschild-r-Koordinate wird ebenfalls in Metern (oder einer anderen von Ihnen gewählten Entfernungseinheit) angegeben. Aber Vorsicht, bei fast allen Beobachtern entspricht die r-Koordinate nicht den Linealmaßen. Beantwortet das die Frage??

Antworten (1)

Sie benötigen die vollständige Metrik.

Wenn Sie zwei Ereignisse und eine Kurve von einem zum anderen haben, können Sie die Metrik verwenden, um das Analogon der Entfernung entlang der Kurve zu finden. Wenn die Kurve zeitähnlich ist, können Sie verwenden

D τ = ( 1 − R S R ) D T 2 − ( 1 − R S R ) − 1 D R 2 − R 2 D θ 2 − R 2 Sünde 2 ⁡ θ D ϕ 2 ,

und wenn die Kurve raumartig ist, können Sie verwenden

D S = − ( 1 − R S R ) D T 2 + ( 1 − R S R ) − 1 D R 2 + R 2 D θ 2 + R 2 Sünde 2 ⁡ θ D ϕ 2 .

Sie können es verwenden, indem Sie eine Kurve in kleine Kurven aufteilen, sodass sich die Koordinaten in dieser kleinen Kurve nicht stark ändern, und dann die tatsächlichen Koordinatenänderungen übernehmen Δ T , Δ R , Δ θ Und Δ ϕ in dieser kleinen Kurve und setzen ( Δ T ) 2 Wo D T 2 war und die Quadratwurzel berechnen und die Ergebnisse für jede kleine Kurve addieren.

Dies ist so, als würde man die Länge einer Kurve annähern, indem man sie in kleine Stücke zerlegt und dann die Länge der geradlinigen Version jedes kleinen Stücks ermittelt. Sie erhalten die tatsächliche Länge, indem Sie ein Integral bilden, was bedeutet, dass Sie in immer kleinere Stücke zerbrechen und die Grenze der Summe nehmen, bis die Stücke klein werden.

Also machst du das gleiche für deine Kurve. In Stücke brechen berechnen zB ( 1 − R S R ) Δ T 2 − ( 1 − R S R ) − 1 Δ R 2 − R 2 Δ θ 2 − R 2 Sünde 2 ⁡ θ Δ ϕ 2 Addieren Sie sie für jedes Stück und nehmen Sie dann die Grenze des Ergebnisses dieser Summen in der Grenze, in der die Stücke kleiner werden. Die eigentliche Grenze ist dann die Länge der Kurve.

Wenn die Kurve zeitähnlich war, ist die Grenze der Betrag, um den eine Uhr tickt, wenn sie sich auf der Kurve bewegt. Wenn die Kurve raumartig ist, ist die Grenze der Betrag, den ein Lineal misst, wenn es entlang dieser Kurve platziert wird.

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