Es ist allgemein bekannt, dass, wenn ein Schwarzes Loch bestimmte Bedingungen erfüllt, seine Gezeitenkräfte ankommende Objekte auseinanderreißen, noch bevor sie den Ereignishorizont überschreiten. Irgendwann scheint die Krümmung des Raums so stark zu sein, dass Ihre Füße um Größenordnungen stärker angezogen werden als Ihr Kopf, was zu Ihrem qualvollen Tod führt.
Mich interessierte der analoge Effekt in zeitlicher Richtung, also wie hoch die gravitative Zeitdilatation zwischen Kopf und Füßen irgendwann vorher werden wirdErreichen des Ereignishorizonts. Mit Hilfe der Schwarzschild-Metrik und der geodätischen Gleichung kann ich versuchen, diese Frage zu beantworten und möchte schließlich nur zum Spaß ein paar Zahlenwerte für eine Person, die 1,90 m groß ist, einsetzen. Ich bezweifle jedoch, dass ich die Radiuskoordinate richtig interpretiere, und würde gerne Ihre Meinung dazu wissen, wie man dieses Problem am besten angeht. Ich zeige Ihnen zuerst meinen Ansatz:
Aus der geodätischen Gleichung eines radialen freien Falls in ein Schwarzschild-Schwarzes Loch folgen die beiden Gleichungen:
Wo ich c = 1 setze, ist F eine Integrationskonstante und andere Gleichungen wurden wegen eliminiert
ebenso gut wie
ist das von einem "unendlich" weit entfernten Beobachter gemessene Zeitintervall.
ist das Zeitintervall, das von der nach innen fallenden Person gemessen wird. Ich könnte jetzt Gleichung 1) zweimal für meinen Kopf und meine Füße aufschreiben. Wobei r die radiale Koordinate meiner Füße ist, und
die für meinen Kopf Also:
konnte ich jetzt eliminieren
und F, wodurch man erhält:
Jetzt kommt meine Frage:
In der flachen Raumzeit könnte ich das sagen
. Aber wie in vielen Threads diskutiert wurde, kann die radiale Koordinate in der Schwarzschild-Metrik aufgrund der gekrümmten Raumzeit nicht als physikalische Entfernung vom Zentrum/Singularität interpretiert werden, was bedeutet, dass ich diesen einfachen Ausdruck nicht verwenden sollte. Und weil mich das extreme Regime eines Schwarzen Lochs besonders interessiert, sollte es extrem abweichen.
Wie kann ich beim Versuch, einige tatsächliche numerische Werte aus Problemen mit Schwarzen Löchern zu erhalten, richtig mit der Radiuskoordinate umgehen, insbesondere in diesem Beispiel?
Natürlich kann es sein, dass mein oben geschriebener Ansatz einfach falsch ist. Ich könnte vielleicht einfach auf das Linienelement schauen, set und schreiben Sie dann die resultierende Beziehung zwischen auf Und zweimal, für Kopf und Füße auf die gleiche Weise wie oben. In jedem Fall bleibt die Frage nach dem Umgang mit der radialen Koordinate relevant.
Sie haben die Situation so beschrieben, als gäbe es zwei Effekte: eine Gezeitenkraft, die den Körper der Person spaghettifiziert, und einen Zeitdilatationseffekt, der die Zeit an Kopf und Fuß unterschiedlich schnell laufen lässt. Dies ist eigentlich keine gute Art, es zu konzeptualisieren. Wenn wir zwei Testteilchen nacheinander entlang derselben radialen Linie in das Schwarze Loch fallen lassen, getrennt durch einen Abstand , dann können wir sagen, dass der Abstand zwischen ihnen weiterhin genau ist , wenn wir Gleichzeitigkeit passend definieren, oder wir können sagen, dass der Abstand zwischen ihnen größer wird als , wenn wir Gleichzeitigkeit basierend auf der Eigenzeit jedes Teilchens definieren. Im ersteren Fall gibt es eine Zeitdilatation, aber keine Dehnung, während im letzteren Fall eine Dehnung, aber keine Zeitdilatation vorliegt. Aber das sind nur zwei unterschiedliche Beschreibungen.
Unabhängig davon, welche dieser Interpretationen Sie nehmen, haben wir
Wo ist die richtige Zeit, ist die Eigenzeitdifferenz zwischen Kopf und Fuß bei gleichem Eigenabstand , Und ist die relative Beschleunigung des Kopfes relativ zu den Füßen.
Die Newtonsche Gezeitenkraft in radialer Richtung ist . Ich hätte gedacht, dass dies durch relativistische Korrekturen modifiziert würde, und es wird in der Kerr-Raumzeit (für ein rotierendes Schwarzes Loch) modifiziert, wenn Sie es nehmen der Kerr sein Koordinate. Es stellt sich jedoch heraus, dass es sich um eine Flugbahn im freien Fall handelt, wenn Sie den Spin des Schwarzen Lochs auf Null setzen und lassen gehen Sie zum Schwarzschild über , erhält man genau den Newtonschen Ausdruck für die Gezeitenkraft, bei allen Radien bis hinunter zur Singularität. Für eine Berechnung all dessen siehe Lima Junior et al., https://arxiv.org/abs/2003.09506 , eq. (35). Ich denke, es muss einen einfacheren Weg geben, um zu beweisen, dass der Newtonsche Ausdruck im Schwarzschild-Fall exakt ist, aber ich habe keine Ahnung, was es ist.
Als Beispiel ist das Ergebnis das für ein schwarzes Loch mit Sonnenmasse, wenn Sie sich innerhalb des Horizonts befinden , mit m, wir haben , dh die Wirkung ist noch recht gering, während die mechanische Beanspruchung so groß ist, dass sie dich schon umgebracht hat.
In Ihrer Berechnung verwenden Sie Ausdrücke für die Zeitdilatation in einem Schwarzen Loch. Das Problem ist, dass diese Ausdrücke nur für einen statischen Beobachter gültig sind. Wir sprechen von einem frei fallenden Beobachter. (Und sobald Sie sich innerhalb des Horizonts befinden, gibt es keine statischen Beobachter.) Aus diesem Grund liefert Ihr Ausdruck seltsame Ergebnisse wie negative Zahlen, wenn Sie sich innerhalb des Horizonts befinden. Selbst wenn Sie sich außerhalb des Horizonts befinden, macht es keinen Sinn, die Zeitdilatation für einen frei fallenden Beobachter auf diese Weise zu definieren oder zu berechnen.
Für ein Schwarzes Loch mit stellarer Masse (oder größer) mit einem in Kilometern (oder mehr) gemessenen Schwarzschild-Radius ist die Differenz zwischen in Schwarzschild-Koordinaten und der richtige Abstand zwischen Kopf und Füßen ist ziemlich unbedeutend, solange Sie sich außerhalb des Horizonts befinden. Kannst du also nehmen 1,9 Meter lang sein und nur um etwa ein Tausendstel falsch sein.
Der richtige Abstand weicht nicht "extrem" ab es sei denn, Sie befinden sich außerhalb eines Lochs, dessen Schwarzschild-Radius im gleichen Maßstab wie Ihre Körpergröße oder kleiner ist. Wir kennen keine solchen schwarzen Löcher.
MegaAmaNeo1