Zeitdilatation in einer hohlen Schale

Question

Zeitdilatation in einer hohlen Schale

Yukterez

Angenommen, ich habe eine hohle Schale mit Gesamtmasse $M$ und Radius $r$ . An der Oberfläche wäre die Gravitationszeitdilatation

τ = T \cdot \sqrt{1 - \frac{v_{e S C}^{2}}{C^{2}}}

$\tau=t \cdot \sqrt{1-\frac{v_{esc}^2}{c^2}}$

Wo

v_{e S C} = \sqrt{\frac{2 \cdot G \cdot M}{R}}

$v_{esc} = \sqrt{\frac{2 \cdot G \cdot M}{r}}$

aber innerhalb der Schale gäbe es kein Gravitationsfeld (Schalensatz von Newton und Satz von Birkhoff).

Dennoch wäre die Fluchtgeschwindigkeit, die erforderlich ist, um ins Unendliche zu entkommen, die gleiche wie an der Oberfläche, da Sie sich innerhalb der Hülle bewegen könnten, ohne dass beschleunigende oder verzögernde Kräfte auf Sie einwirken, bis Sie die Oberfläche erreichen, von wo aus Sie nach hinten gezogen würden.

Ebenso die Zeitdilatation innerhalb der hohlen Schale relativ zu einem feldfreien Beobachter im Unendlichen

Null (ich nehme an, es ist nicht) oder
das gleiche wie auf der Oberfläche (meine beste Vermutung), oder
etwas ganz anderes?

Ich habe einige nicht wirklich doppelte, aber verwandte Threads zum Inneren von Schwarzen Löchern gefunden, die sich nicht wirklich auf die Mathematik konzentrierten, aber ich stehe in Bezug auf die Berechnungen mehr hinter den Berechnungen $M$ Und $r$ .

Antworten (2)

Zeitdilatation in einer hohlen Schale

Michael Seifert · Answer 1

Bei einer asymptotisch flachen Metrik die von einem "stationären" Beobachter gemessene Eigenzeit (hier definiert als einer, dessen Weg durch die Raumzeit sich nur ändert $t$ , und keine sich ändernden Raumkoordinaten) ist

D τ = \sqrt{- G_{T T}} D T,

$d \tau = \sqrt{ - g_{tt}} dt,$ Wo

g_{t t}

$g_{tt}$ ist die Zeit-Zeit-Komponente der Metrik. Für ein "schwaches" Gravitationsfeld funktioniert dies gut

G_{T T} \approx - (1 + \frac{2 Φ}{C^{2}}),

$g_{tt} \approx - \left( 1 + \frac{2 \Phi}{c^2} \right),$ Wo

Φ

$\Phi$ ist das Gravitationspotential, so definiert, dass

Φ \to 0

$\Phi \to 0$ als

r \to \infty

$r \to \infty$ . Daher,

D τ = \sqrt{1 + \frac{2 Φ}{C^{2}}} D T .

$d \tau = \sqrt{ 1 + \frac{2 \Phi}{c^2}} dt.$ In dieser Form ist es ziemlich offensichtlich, dass der Zeitdilatationsfaktor überall innerhalb der Schale gleich ist, da

Φ

$\Phi$ ist eine Konstante in einer hohlen Hülle (vergleichen Sie das elektrostatische Äquivalent, wenn Sie davon nicht überzeugt sind.)

Beachten Sie, dass Ihre Formel in Bezug auf die Fluchtgeschwindigkeit dieser entspricht, wenn Sie die Fluchtgeschwindigkeit an einem beliebigen Punkt als "die Geschwindigkeit, für die die Gesamtenergie des Objekts Null ist" definieren. (Null Gesamtenergie bedeutet natürlich, dass das Teilchen ins Unendliche entweichen kann.) In diesem Fall haben wir

\frac{1}{2} M v_{Esc}^{2} + M Φ = 0 \Rightarrow v_{Esc}^{2} = - 2 Φ

$\frac{1}{2} m v_\text{esc}^2 + m \Phi = 0 \quad \Rightarrow \quad v_\text{esc}^2 = - 2 \Phi$ und Ihr obiges Ergebnis wird wiederhergestellt. Bei dieser Interpretation wäre die "Fluchtgeschwindigkeit" aus dem Inneren einer Hohlkugel dieselbe wie die Fluchtgeschwindigkeit von der Oberfläche: Wenn wir ein Projektil in die Hülle schießen, bewegt es sich mit konstanter Geschwindigkeit, bis es die Oberfläche der Hülle erreicht; und wenn wir an dieser Stelle ein kleines Bullauge in der Granate für das Projektil öffnen, ist es, als ob wir es mit derselben Geschwindigkeit von der Oberfläche abfeuern würden.

Siehe auch: Wenn die Schwerkraft die Raumzeit krümmt, könnte die Schwerkraft manipuliert werden, um die Zeit einzufrieren?
Würden die gleichen Schlussfolgerungen immer noch gelten, wenn das Gravitationsfeld stark statt schwach wäre?
Nur um es richtig zu machen: Wenn ich einen Planeten mit einer Masse und einem Radius, die einem Gravitations-Zeitdilatationsfaktor von x entsprechen, in eine hohle Hülle platziere, die (ohne den Planeten darin) eine Zeitdilatation von Faktor y auf ihrer Oberfläche hat, ist der neue Faktor an die Oberfläche des Planeten, die sich jetzt in der Hülle befindet, wäre x*y, verglichen mit einem Beobachter im Unendlichen?
@no_choice99: Es stellt sich heraus, dass für die Schwarzschild-Metrik der schwache Feldausdruck unter Verwendung des Newtonschen Potentials die richtige Antwort liefert, sodass Michaels Schlussfolgerung auch für Objekte richtig ist, die massiv genug sind, um fast schwarze Löcher zu sein. Dies ist jedoch nicht allgemein wahr.
@СимонТыран: Ich würde eher sagen, wenn Sie zwei Newtonsche Massenkonfigurationen haben, von denen eine den Zeitdilatationsfaktor ergibt $(1 + \delta)$ an einem bestimmten Punkt für sich und der andere einen Faktor ergibt $(1 + \epsilon)$ , dann wäre der kombinierte Zeitdilatationsfaktor $(1 + \delta + \epsilon)$ . Das ist ungefähr gleich $(1 + \delta)(1 + \epsilon)$ Wenn $\delta, \epsilon \ll 1$ , insofern ist deine aussage richtig. Ich würde mich jedoch wohler fühlen, wenn ich meine Aussage mache, da sie auf der Linearität der Newtonschen Schwerkraft beruht (was bei GR nicht der Fall ist).
@СимонТыран: Allerdings ist der Unterschied in der Grenze der schwachen Schwerkraft unerheblich, daher ist Ihre Aussage in diesem Regime in Ordnung. Machen Sie sich nur klar, dass keine unserer Aussagen funktioniert, wenn Sie jemals versuchen, sie auf starke Gravitationsfelder anzuwenden ( $\Phi \lesssim c^2$ .)
@no_choice99: Zusätzlich zu dem, was John gesagt hat, hat der Begriff "Fluchtgeschwindigkeit" (in meinem letzten Absatz) nichts damit zu tun $\Phi$ auf so einfache Weise, wenn $\Phi$ ist groß.
@Michael Seifert Ist es wirklich (1+δ+ε) statt (1+δ)(1+ε)? Ich dachte immer, die erste Option sei eine Vereinfachung für kleine δ & ε, während die letztere Lösung mir intuitiver erscheint, auch für größere δ & ε zu gelten.
@СимонТыран: Das Problem ist, dass GR nicht linear ist: Wenn Sie das von zwei Objekten erzeugte Feld finden möchten, können Sie nicht einfach nach den beiden lösen und dann die beiden Felder kombinieren. Das bedeutet, wenn $\delta$ Und $\epsilon$ nicht klein sind, dann ist die richtige Antwort (wahrscheinlich) weder noch $(1 + \delta + \epsilon)$ oder $(1 + \delta)(1 + \epsilon)$ , aber eine andere komplizierte Funktion von $\delta$ Und $\epsilon$ das stimmt mit beiden aufs erste überein. Nur wenn $\delta$ Und $\epsilon$ klein sind (das "linearisierte" Regime), können wir die Terme höherer Ordnung ignorieren, und dann sind unsere Antworten äquivalent.
Aber @John Rennie sagte, dass in Schwarzschild-Szenarien die Lösung auch in starken Feldern gilt, also wenn $\delta=1$ Und $\epsilon=1$ ist eher die Lösung $1+\delta+\epsilon=3$ oder $(1+\delta)(1+\epsilon)=4$ ?
@СимонТыран: Für das zusammengesetzte Objekt, das Sie beschreiben, wird die Geometrie innerhalb der äußersten Schale nicht durch die Schwarzschild-Metrik beschrieben. Die Schwarzschild-Metrik gibt der Geometrie außen eine kugelsymmetrische Massenverteilung. Ich müsste die Seite runter und ausarbeiten, wie die Metrik für Ihre Massenverteilung aussieht, und das wäre eine Menge Arbeit.
In diesem Fall werde ich Seiferts Antwort als akzeptiert markieren und ein Kopfgeld für eine neue Frage zu den GR-Gleichungen setzen
Ich wollte die gleiche Frage stellen, aber ich verstehe diese Antwort nicht. Erfährt das Innere einer Dyson-Kugel, die massiv genug / dicht genug ist, von einem äußeren Bezugsrahmen aus eine Zeitdilatation nur durch die Masse der Kugel?
@CJDennis: Ja, weil das Innere der Hülle ein niedrigeres Gravitationspotential hat $\Phi$ im Vergleich zu weit von der Schale entfernten Punkten.
@MichaelSeifert Das verstehe ich leider auch nicht. Merkur erfährt eine leichte Zeitdilatation, weil er tief in der Schwerkraft der Sonne liegt. GPS-Satelliten erfahren eine leichte Zeitdilatation, weil sie so schnell um die Erde reisen. Wie komme ich von dort zur Zeitdilatation in einer Dyson-Sphäre?
@CJDennis: Es würde sich wahrscheinlich lohnen, eine separate Frage dazu zu stellen, aber um es zu skizzieren: Verwenden Sie das Gaußsche Gesetz, um das Gravitationsbeschleunigungsfeld aus der Dyson-Kugel zu berechnen, und integrieren Sie es dann entlang eines radialen Pfads, um es zu finden $\Phi$ . Der Prozess ist im Grunde derselbe wie das Auffinden des elektrischen Potentials in einer geladenen Hülle. Verwenden Sie dann die obige Gleichung $\tau$ (die Eigenzeit eines ruhenden Beobachters innerhalb der Kugel) und $t$ (die Zeit, wie sie im Unendlichen beobachtet wird).

Jim Pamplin · Answer 2

Es scheint mir, dass die Taktrate in einer Newton-Schale unabhängig von der Masse der Schale sein sollte, als ob diese Masse nicht existierte. Es gibt keine Nettokraft, daher gibt es kein Gravitationspotential in Bezug auf die Masse. Die Fluchtgeschwindigkeit aus dem Inneren der Hülle an einen unendlich weit entfernten Ort zu betrachten, ist eine interessante Wendung, aber eine Uhr in der Hülle spürt nicht das Vorhandensein der Masse der Hülle oder "weiß", dass es etwas gibt, aus dem sie entkommen kann. Ich vermute, dass das Thema Fluchtgeschwindigkeit in Bezug auf die Gravitationszeitdilatation in einer Newton-Schale ein Ablenkungsmanöver ist und keinen Einfluss auf die interne Uhrengeschwindigkeit hat.

Jede Uhr läuft lokal mit ihrer natürlichen Rate. Gravitationszeitdilatation bewirkt die Beobachtung von Uhren von anderen Orten. Und während alle Uhren innerhalb der Shell miteinander übereinstimmen würden, bittet das OP ausdrücklich um einen Vergleich mit Entfernungsuhren.

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